Dê exemplo das seguintes situações:
(f) Duas funções f e g tais que existe lim x 0 f(x) e não existe lim x 0 g(x), mas mesmo assim lim x 0 f(x) cdot g(x) existe.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar duas funções, e , de modo que o limite de quando tende a 0 exista, o limite de quando tende a 0 não exista, mas o produto tenha um limite existente quando tende a 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções. Precisaremos definir de forma que tenha um limite definido em 0 e de forma que não tenha limite em 0, mas o produto das duas funcione.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função limx to 0 f(x) = limx to 0 x = 0 cujo limite existe quando tende a 0. Uma função simples que satisfaz isso é . Sabemos que:
Então, o limite de em 0 é 0.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma função cujo limite não exista quando tende a 0. Uma função que oscila indefinidamente próximo a 0 é uma boa candidata. Vamos usar .

Passo 4

Vamos verificar se o limite de limx to 0 sin(1x)x quando tende a 0 realmente não existe:
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para valores de próximos a 0, então oscila entre e , o que tende a e conforme se aproxima de 0. Portanto, o limite não existe.

Passo 5

Agora, vamos analisar o produto f(x) cdot g(x) = x cdot sin(1x)x = sin(1x) :
limx to 0 sin(1x)
Então, o limite de quando tende a 0 é:
A função oscila entre -1 e 1, mas como o coeficiente já cancelou no produto, o limite não existe. Parece que precisamos ajustar nossa escolha.

Passo 6

Vamos tentar outra abordagem. Escolhemos f(x) cdot g(x) = x cdot 1x = 1 e limx to 0 1 = 1 . Então:
limx to 0 f(x) = limx to 0 x = 0
Nesse caso, o limite de limx to 0 g(x) = limx to 0 1x quando tende a 0 é:
Agora, vamos verificar os limites individuais:
O limite de quando tende a 0 não existe, pois vai para ou dependendo da direção.

Resposta

Um exemplo é escolher limx to 0 f(x) = 0 e limx to 0 g(x) não existe . Assim:
limx to 0 f(x) cdot g(x) = limx to 0 1 = 1
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