Dê exemplo das seguintes situações:
(f) Duas funções
e
tais que existe
e não existe
, mas mesmo assim
existe.
(f) Duas funções
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar duas funções,
e
, de modo que o limite de
quando
tende a 0 exista, o limite de
quando
tende a 0 não exista, mas o produto
tenha um limite existente quando
tende a 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções. Precisaremos definir
de forma que tenha um limite definido em 0 e
de forma que não tenha limite em 0, mas o produto das duas funcione.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma função
cujo limite existe quando
tende a 0. Uma função simples que satisfaz isso é
. Sabemos que:
Então, o limite de
em 0 é 0.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma função
cujo limite não exista quando
tende a 0. Uma função que oscila indefinidamente próximo a 0 é uma boa candidata. Vamos usar
.
Passo 4
Vamos verificar se o limite de
quando
tende a 0 realmente não existe:
Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para valores de
próximos a 0, então
oscila entre
e
, o que tende a
e
conforme
se aproxima de 0. Portanto, o limite não existe.
Passo 5
Agora, vamos analisar o produto
:
Então, o limite de
quando
tende a 0 é:
A função
oscila entre -1 e 1, mas como o coeficiente
já cancelou no produto, o limite não existe. Parece que precisamos ajustar nossa escolha.
Passo 6
Vamos tentar outra abordagem. Escolhemos
e
. Então:
Nesse caso, o limite de
quando
tende a 0 é:
Agora, vamos verificar os limites individuais:
O limite de
quando
tende a 0 não existe, pois vai para
ou
dependendo da direção.
Resposta
Um exemplo é escolher
e
. Assim: