Sejam f e g duas funções contínuas em a pertence a Dom(f) interseccao Dom(g) e k pertence aos reais constante. Prove que:
(b) f + g é contínua em a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções contínuas. Especificamente, temos duas funções, e , que são contínuas em um ponto . A gente precisa provar que a soma dessas duas funções, ou seja, , também é contínua nesse mesmo ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções e algumas propriedades básicas das operações com funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se, ao nos aproximarmos de , os valores de também se aproximam de . Em termos matemáticos, isso é expresso como:
Então, para provar que é contínua em , precisamos mostrar que:

Passo 3

Sabemos que e são contínuas em , o que significa que:
Uma propriedade importante dos limites é que o limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites das funções, desde que ambos os limites existam. Ou seja:

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Isso mostra exatamente o que queríamos: que o limite da soma quando se aproxima de é igual à soma dos valores das funções em .

Resposta

Portanto, provamos que é contínua em , já que:

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