Sejam
e
duas funções contínuas em
e
constante. Prove que:
(b)
é contínua em
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções contínuas. Especificamente, temos duas funções,
e
, que são contínuas em um ponto
. A gente precisa provar que a soma dessas duas funções, ou seja,
, também é contínua nesse mesmo ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções e algumas propriedades básicas das operações com funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se, ao nos aproximarmos de
, os valores de
também se aproximam de
. Em termos matemáticos, isso é expresso como:
Então, para provar que
é contínua em
, precisamos mostrar que:
Passo 3
Sabemos que
e
são contínuas em
, o que significa que:
Uma propriedade importante dos limites é que o limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites das funções, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Isso mostra exatamente o que queríamos: que o limite da soma
quando
se aproxima de
é igual à soma dos valores das funções em
.
Resposta
Portanto, provamos que
é contínua em
, já que: