Sabemos que x = 2 é um ponto de descontinuidade da função f(x) = (raizcubica(x - 1) - 1) / (raiz(x) - raiz(2)) (Por quê?). Essa descontinuidade é removível?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e sabemos que em a função não está definida, ou seja, há uma descontinuidade. Queremos saber por que isso acontece e se essa descontinuidade pode ser removida. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na função:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica na forma , que é uma indeterminação. Isso indica que há uma descontinuidade em .

Passo 3

Para verificar se essa descontinuidade é removível, vamos tentar simplificar a expressão da função. Se conseguirmos cancelar o fator que causa a indeterminação, então a descontinuidade é removível.
Começamos reescrevendo a função:
Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por :
No numerador, usamos a identidade com e :
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, observamos que o numerador tem um fator . Vamos verificar se o denominador também possui esse fator.
No denominador, temos . Vamos racionalizar multiplicando e dividindo por :
Isso porque .

Passo 5

Agora, podemos cancelar o fator no numerador e denominador, desde que :
Essa simplificação mostra que, para , a função é contínua. Portanto, a descontinuidade em é removível, pois conseguimos “eliminar” o ponto de indeterminação através da simplificação.

Resposta

A descontinuidade em é removível.

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