Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se
e
são analíticas, então:
d) (REGRA DA CADEIA) se
e
são analíticas, então a regra da cadeia vale: A função
é analítica e,
d) (REGRA DA CADEIA) se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar a Regra da Cadeia para derivadas de funções complexas. Isso significa mostrar que, se temos duas funções
e
que são analíticas (ou seja, diferenciáveis em todo lugar dentro de seus domínios), então a composição delas
também é analítica. Além disso, queremos descobrir a derivada de
em termos das derivadas de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, como limites e definições de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função
é analítica se ela é diferenciável em cada ponto de
. Isso quer dizer que o limite
existe para todo
em
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as funções
e
que são analíticas. Queremos provar que a função composta
também é analítica e encontrar sua derivada.
Passo 4
Vamos começar verificando se
é analítica. Como
é analítica e mapeia
para
, e
é analítica em
, a composição
é uma função resultante da combinação de duas funções diferenciáveis, então ela também deve ser diferenciável em
. Ou seja,
é analítica.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
usando a definição de derivada:
Passo 6
Para simplificar isso, vamos introduzir uma pequena mudança: seja
. Como
é diferenciável em
, temos que
se comporta como
quando
tende a zero.
Passo 7
Substituindo
na expressão da derivada, fica:
Mas como
, podemos reescrever o limite como:
Passo 8
Observamos que o primeiro fator é exatamente a definição da derivada de
em
:
E o segundo fator, como mencionamos antes, é
. Então temos:
Resposta
Portanto, provamos que a derivada da função composta
é dada por
para todo
em
.