Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se f e g são analíticas, então:
d) (REGRA DA CADEIA) se f: Omega -> U e g: U -> C são analíticas, então a regra da cadeia vale: A função (g ∘ f): Ω → C é analítica e,
(g o f)'(z) = g'(f(z)) f'(z) para todo z em Omega

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar a Regra da Cadeia para derivadas de funções complexas. Isso significa mostrar que, se temos duas funções e que são analíticas (ou seja, diferenciáveis em todo lugar dentro de seus domínios), então a composição delas também é analítica. Além disso, queremos descobrir a derivada de em termos das derivadas de e . Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, como limites e definições de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função é analítica se ela é diferenciável em cada ponto de . Isso quer dizer que o limite
existe para todo em .

Passo 3

Agora, vamos considerar as funções e que são analíticas. Queremos provar que a função composta também é analítica e encontrar sua derivada.

Passo 4

Vamos começar verificando se é analítica. Como é analítica e mapeia para , e é analítica em , a composição é uma função resultante da combinação de duas funções diferenciáveis, então ela também deve ser diferenciável em . Ou seja, é analítica.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de usando a definição de derivada:

Passo 6

Para simplificar isso, vamos introduzir uma pequena mudança: seja . Como é diferenciável em , temos que se comporta como quando tende a zero.

Passo 7

Substituindo na expressão da derivada, fica:
Mas como , podemos reescrever o limite como:

Passo 8

Observamos que o primeiro fator é exatamente a definição da derivada de em :
E o segundo fator, como mencionamos antes, é . Então temos:

Resposta

Portanto, provamos que a derivada da função composta é dada por
para todo em .

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