O exemplo a seguir ilustra que correlação nula NÃO implica independência. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta
-1
0
1
-1
0
0
1
a) Mostre que
, o que implica que
.
b) Justifique porque
e
não são independentes.
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-1 | 0 | 1 |
-1 |
|
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|
0 |
|
0 |
|
1 |
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|
|
b) Justifique porque
Passo 1
Temos as variáveis aleatórias X e Y definidas na grade com 9 pontos e probabilidades iguais a 1/8, exceto em (0,0) que tem probabilidade zero. O objetivo é mostrar que E[XY]=E[X]E[Y] (portanto correlação zero) e depois justificar por que X e Y não são independentes.
Passo 2
Para calcular E[X] e E[Y], primeiro determinamos as marginais. Para X:
P(X=−1)=3/8, P(X=0)=2/8, P(X=1)=3/8
Logo
E[X]= (−1)·(3/8) + 0·(2/8) + 1·(3/8) = 0
P(X=−1)=3/8, P(X=0)=2/8, P(X=1)=3/8
Logo
E[X]= (−1)·(3/8) + 0·(2/8) + 1·(3/8) = 0
Passo 3
E o mesmo para Y:
P(Y=−1)=3/8, P(Y=0)=2/8, P(Y=1)=3/8
Logo
E[Y]= (−1)·(3/8) + 0·(2/8) + 1·(3/8) = 0
P(Y=−1)=3/8, P(Y=0)=2/8, P(Y=1)=3/8
Logo
E[Y]= (−1)·(3/8) + 0·(2/8) + 1·(3/8) = 0
Passo 4
Agora calculamos E[XY] usando a definição E[XY]=∑_{x,y} x y p(x,y). Os pares que contribuem são:
(−1,−1): 1·(1/8), (1,−1): −1·(1/8), (−1,1): −1·(1/8), (1,1): 1·(1/8)
Somando, E[XY]= (1−1−1+1)/8 = 0
(−1,−1): 1·(1/8), (1,−1): −1·(1/8), (−1,1): −1·(1/8), (1,1): 1·(1/8)
Somando, E[XY]= (1−1−1+1)/8 = 0
Passo 5
Como E[XY]=0 e E[X]E[Y]=0·0=0, segue Cov(X,Y)=0. E como Var(X)>0 e Var(Y)>0, Corr(X,Y)=Cov(X,Y)/[σ_X σ_Y]=0.
Passo 6
Para verificar que X e Y não são independentes, basta achar um ponto (x,y) em que p(x,y)≠P(X=x)P(Y=y). Observamos que p(0,0)=0, mas P(X=0)P(Y=0)=(2/8)·(2/8)=1/16≠0. Portanto, X e Y não satisfazem p(x,y)=P(X=x)P(Y=y), logo não são independentes.
Resposta
a) E[XY]=E[X]E[Y]=0, logo corr(X,Y)=0. b) X e Y não são independentes porque, por exemplo, p(0,0)=0≠P(X=0)P(Y=0)=1/16.