A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
$$f(x, y)=e^{-(x+y)}
0 \leq x \leq \infty,
0 \leq y \leq \infty$$
Determine
f(x, y)=e^-(x+y) 0 <= x <= infty, 0 <= y <= infty

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a densidade conjunta f(x,y)=e^-(x+y) para x,y>=0, que indica que X e Y são independentes e Exp(1). Queremos calcular P(X.

Passo 2

Definimos a probabilidade como integral dupla sobre a região x:
[
P(X<Y) = \int_{y=0}^\infty \int_{x=0}^y f(x,y) , dx , dy
]

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x:
[
\int_{x=0}^y e^{-(x+y)} , dx = e^{-y} \int_{0}^y e^{-x} , dx = e^{-y}(1 - e^{-y}).
]

Passo 4

Agora avaliamos a integral externa em y:
[
\int_{y=0}^\infty e^{-y}(1 - e^{-y}) , dy = \int_{0}^\infty e^{-y} , dy - \int_{0}^\infty e^{-2y} , dy = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
]

Resposta

P(X

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