A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
$$f(x, y)=e^{-(x+y)}
0 \leq x \leq \infty,
0 \leq y \leq \infty$$
Determine
Determine
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a densidade conjunta
para
, que indica que
e
são independentes e Exp(1). Queremos calcular
.
Passo 2
Definimos a probabilidade como integral dupla sobre a região
:
[
P(X<Y) = \int_{y=0}^\infty \int_{x=0}^y f(x,y) , dx , dy
]
[
P(X<Y) = \int_{y=0}^\infty \int_{x=0}^y f(x,y) , dx , dy
]
Passo 3
Calculamos primeiro a integral interna em
:
[
\int_{x=0}^y e^{-(x+y)} , dx = e^{-y} \int_{0}^y e^{-x} , dx = e^{-y}(1 - e^{-y}).
]
[
\int_{x=0}^y e^{-(x+y)} , dx = e^{-y} \int_{0}^y e^{-x} , dx = e^{-y}(1 - e^{-y}).
]
Passo 4
Agora avaliamos a integral externa em
:
[
\int_{y=0}^\infty e^{-y}(1 - e^{-y}) , dy = \int_{0}^\infty e^{-y} , dy - \int_{0}^\infty e^{-2y} , dy = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
]
[
\int_{y=0}^\infty e^{-y}(1 - e^{-y}) , dy = \int_{0}^\infty e^{-y} , dy - \int_{0}^\infty e^{-2y} , dy = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
]