Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta
1
2
3
1
0,1
0,1
0,0
2
0,1
0,2
0,3
3
0,1
0,1
0,0
a) Determine a distribuição da variável e calcule . Pode-se obter a mesma resposta de outra maneira?
b) Determine a distribuição da variável e, em seguida, calcule .
c) Mostre que, embora ., X e Y não são independentes.
d) Lançam-se dois dados perfeitos. X indica o número obtido no primeiro dado e Y o maior ou o número comum nos dois dados.
e) Determine a distribuição conjunta de e .
f) As duas variáveis são independentes? Porque?
g) As duas variáveis são correlacionadas? Porque?
Passo 1
Temos duas variáveis aleatórias discretas e com distribuição conjunta dada na tabela. O objetivo é: a) encontrar a distribuição de e calcular ; b) encontrar a distribuição de e calcular ; c) verificar se implica independência; d,e) considerar dois dados e definir como o resultado do primeiro e como o maior (ou valor comum) dos dois; e determinar a distribuição conjunta de e ; f) checar independência; g) verificar correlação.
Passo 2
Para a distribuição de , somamos as probabilidades dos pares que dão cada valor de :
Passo 3
O valor esperado é
Também vale
Passo 4
Para , listamos os pares que dão cada produto:
Logo
Passo 5
Observa-se que e , mas, por exemplo,
logo e não são independentes.
Passo 6
No experimento de lançar dois dados perfeitos, seja o valor do primeiro dado (1 a 6) e o maior dos dois resultados (ou o valor comum), isto é .
Passo 7
Para determinar , notamos que:
Se , não pode ocorrer o máximo ser menor que o primeiro, logo .
Se , o segundo dado deve ser :
Se , o segundo dado deve ser :
Passo 8
As variáveis não são independentes pois, por exemplo, para :
Passo 9
Para a correlação, calculamos . Aplicando a distribuição, obtém-se
logo há correlação positiva.
Resposta
a) Distribuição de :
(também ).
b) Distribuição de :
.
c) Embora , e não são independentes (por exemplo ).
d,e) Para dois dados, a distribuição conjunta é
f) Não são independentes.
g) Cov(X,Y)approx1.4583>0, logo há correlação positiva.