Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta
l|l|l|l $Y backslash X$ & 1 & 2 & 3 hline 1 & 0,1 & 0,1 & 0,0 2 & 0,1 & 0,2 & 0,3 3 & 0,1 & 0,1 & 0,0 1 2 3
1 0,1 0,1 0,0
2 0,1 0,2 0,3
3 0,1 0,1 0,0
a) Determine a distribuição da variável S=X+Y e calcule E(S). Pode-se obter a mesma resposta de outra maneira?
b) Determine a distribuição da variável P=X Y e, em seguida, calcule E[P].
c) Mostre que, embora E(X Y)=E., X e Y não são independentes.
d) Lançam-se dois dados perfeitos. X indica o número obtido no primeiro dado e Y o maior ou o número comum nos dois dados.
e) Determine a distribuição conjunta de X e Y.
f) As duas variáveis são independentes? Porque?
g) As duas variáveis são correlacionadas? Porque?

Passo 1

Temos duas variáveis aleatórias discretas X e Y com distribuição conjunta dada na tabela. O objetivo é: a) encontrar a distribuição de S=X+Y e calcular E(S); b) encontrar a distribuição de P=XY e calcular E(P); c) verificar se E(XY)=E(X)E(Y) implica independência; d,e) considerar dois dados e definir X como o resultado do primeiro e Y como o maior (ou valor comum) dos dois; e determinar a distribuição conjunta de X e Y; f) checar independência; g) verificar correlação.

Passo 2

Para a distribuição de S=X+Y, somamos as probabilidades dos pares (x,y) que dão cada valor de s:
P(S=2)=0.1, P(S=3)=0.1+0.1=0.2, P(S=4)=0.2+0.1=0.3, P(S=5)=0.3+0.1=0.4

Passo 3

O valor esperado é
E(S)=sums s,P(S=s)=2cdot0.1+3cdot0.2+4cdot0.3+5cdot0.4=4.0
Também vale
E(S)=E(X)+E(Y)=2.0+2.0=4.0

Passo 4

Para P=XY, listamos os pares que dão cada produto:
P(P=1)=0.1, P(P=2)=0.1+0.1=0.2, P(P=3)=0.1, P(P=4)=0.2, P(P=6)=0.3+0.1=0.4
Logo
E(P)=1cdot0.1+2cdot0.2+3cdot0.1+4cdot0.2+6cdot0.4=4.0

Passo 5

Observa-se que E(XY)=E(P)=4.0 e E(X)E(Y)=2.0cdot2.0=4.0, mas, por exemplo,
P(X=3,Y=1)=0neq PX(3)PY(1)=0.3cdot0.2=0.06,
logo X e Y não são independentes.

Passo 6

No experimento de lançar dois dados perfeitos, seja X o valor do primeiro dado (1 a 6) e Y o maior dos dois resultados (ou o valor comum), isto é Y=maxX1,X2.

Passo 7

Para determinar P(X=i,Y=j), notamos que:
  • Se j, não pode ocorrer o máximo ser menor que o primeiro, logo P=0.
  • Se j=i, o segundo dado deve ser <= i:
P(X=i,Y=i)=16cdoti6=i36
  • Se j>i, o segundo dado deve ser j:
P(X=i,Y=j)=16cdot16=136

Passo 8

As variáveis não são independentes pois, por exemplo, para i=1,j=2:
P(X=1,Y=2)=136neq PX(1)PY(2)=16cdot336

Passo 9

Para a correlação, calculamos Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). Aplicando a distribuição, obtém-se
E(XY)=61636approx17.1111, E(X)=3.5, E(Y)=16136approx4.4722,
Cov(X,Y)=17.1111-3.5cdot4.4722approx1.4583>0,
logo há correlação positiva.

Resposta

a) Distribuição de S:
P(S=2)=0.1,;P(S=3)=0.2,;P(S=4)=0.3,;P(S=5)=0.4
E(S)=4.0 (também =E(X)+E(Y)).
b) Distribuição de P:
P(P=1)=0.1,;P(P=2)=0.2,;P(P=3)=0.1,;P(P=4)=0.2,;P(P=6)=0.4
E(P)=4.0.
c) Embora E(XY)=4.0=E(X)E(Y), X e Y não são independentes (por exemplo P(3,1)=0neq0.06).
d,e) Para dois dados, a distribuição conjunta é
P(X=i,Y=j)= dfraci36,&j=i,[4pt] dfrac136,&j>i,[4pt] 0,&j
f) Não são independentes.
g) Cov(X,Y)approx1.4583>0, logo há correlação positiva.

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