O vetor aleatório (
) é chamado de uniformemente distribuído em uma região
do plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é
caso contrário
a) Mostre que
área da região
. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em (
) e com lados de comprimento 2 .
b) Mostre que X e Y são independentes, com cada um sendo uniformemente distribuído ao longo de (
). © Qual é a probabilidade de que (
) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine
a) Mostre que
b) Mostre que X e Y são independentes, com cada um sendo uniformemente distribuído ao longo de (
Passo 1
Nesse exercício vamos lidar com vetores aleatórios contínuos e densidade uniforme, escolher o quadrado de lado 2 centrado na origem como região R e usar integração sobre regiões para normalizar, obter marginais e calcular probabilidades de sub-região.
Passo 2
Para achar a constante c usamos a condição de normalização da densidade conjunta, que diz que a integral de f(x,y) sobre todo o plano deve valer 1. Como f(x,y)=c dentro de R e zero fora, temos
Dessa relação segue que
Passo 3
No caso do quadrado centrado em (0,0) com lados de comprimento 2, a região R é
, cuja área é 4. Logo
A densidade conjunta é
Para obter a densidade marginal de X fazemos
Isso mostra que X é
. Analogamente para Y. Como a densidade conjunta se fatoriza em
, concluímos que X e Y são independentes.
Passo 4
Para calcular
basta integrar a densidade sobre o disco de raio 1. Como esse disco está inteiro dentro do quadrado, temos
Resposta
a)
. b) X e Y independentes, cada um
. c)
.