O vetor aleatório ( X, Y ) é chamado de uniformemente distribuído em uma região R do plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é
f(x, y)= c & se (x, y) in R 0 & caso contrário á
caso contrário
a) Mostre que 1 barjmath área da região R. Suponha que (X, Y) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em ( O, O ) e com lados de comprimento 2 .
b) Mostre que X e Y são independentes, com cada um sendo uniformemente distribuído ao longo de ( -1,1 ). © Qual é a probabilidade de que ( X, Y ) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na origem? Isto é, determine
P[x^2+y^2<1]

Passo 1

Nesse exercício vamos lidar com vetores aleatórios contínuos e densidade uniforme, escolher o quadrado de lado 2 centrado na origem como região R e usar integração sobre regiões para normalizar, obter marginais e calcular probabilidades de sub-região.

Passo 2

Para achar a constante c usamos a condição de normalização da densidade conjunta, que diz que a integral de f(x,y) sobre todo o plano deve valer 1. Como f(x,y)=c dentro de R e zero fora, temos
1=integral duplaR f(x,y),dx,dy=cintegral duplaR dx,dy=ccdotárea(R) á
Dessa relação segue que
c=1área(R) á

Passo 3

No caso do quadrado centrado em (0,0) com lados de comprimento 2, a região R é [-1,1]times[-1,1], cuja área é 4. Logo
c=14
A densidade conjunta é
f(x,y)=1/4,&(x,y)in[-1,1]^2,0,&caso contrário á
Para obter a densidade marginal de X fazemos
fX(x)=integral-1^1 f(x,y),dy=integral-1^114,dy=12, xin(-1,1)
Isso mostra que X é Uniforme(-1,1). Analogamente para Y. Como a densidade conjunta se fatoriza em f(x,y)=fX(x),fY(y), concluímos que X e Y são independentes.

Passo 4

Para calcular P[X^2+Y^2<1] basta integrar a densidade sobre o disco de raio 1. Como esse disco está inteiro dentro do quadrado, temos
P[X^2+Y^2<1]=integral duplax^2+y^2<1f(x,y),dx,dy=14cdotárea do disco=14cdotpicdot1^2=pi4 á

Resposta

a) c=1/área(R)á. b) X e Y independentes, cada um simUniforme(-1,1). c) P[X^2+Y^2<1]=pi/4.

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