Exemplo 5.1.2. Sejam
e
calcule
.
1º Processo: (Montar a função "
")
1º Processo: (Montar a função "
Passo 1
O enunciado pede para calcular
dado que
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro processo pedido: montar a função
substituindo
e
em
. Vou substituir passo a passo e explicar cada substituição com calma.
Passo 3
Calcule
. Como
, temos
Aqui usei a propriedade de potências:
.
Passo 4
Agora escrevo
substituindo
e
:
Pronto — montamos a função
em termos de
.
Passo 5
Para derivar
onde
e
, usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se
, então
Explicando devagar: a derivada de um produto é a soma de “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo” mais “o primeiro vezes a derivada do segundo”.
Passo 6
Calcule
. Como
, a derivada é
É a derivada de uma reta: coeficiente angular.
Passo 7
Calcule
. Aqui usamos a regra da cadeia porque
com
. A regra da cadeia para exponencial é:
Então primeiro calcule
. Como
,
Portanto
Passo 8
Agora aplique a regra do produto com os
que achamos:
Passo 9
Simplifique a expressão fatorando
(está presente em ambos os termos):
Calcule o que está dentro dos parênteses:
então
Passo 10
Podemos deixar a resposta final de duas formas equivalentes; uma com fator comum 2 extraído:
Passo 11
Por que escolhi montar
e usar regra do produto em vez de aplicar direto a fórmula da derivada por variáveis parciais? Porque aqui é simples e direto: compor as funções dá uma única função de
e a regra do produto + cadeia resolvem rapidamente sem complicação — é exatamente o “1º processo” pedido. Vai bem para prova: compõe, identifica produto, aplica produto e cadeia, fatura a simplificação.