Exemplo 5.1.2. Sejam z=x^{2} y, x=e^{t^{2}} e y=2 t+1 calcule \frac{d z}{d t}.
1º Processo: (Montar a função " z(t) ")

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \frac{dz}{dt} dado que
z = x^{2}y,\qquad x = e^{t^{2}},\qquad y = 2t+1.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad z \text{ é uma função de } x \text{ e } y \text{, dada por } z=x^{2}y;\\\ &\text{(ii)}\quad x \text{ é função de } t \text{: } x(t)=e^{t^{2}};\\\ &\text{(iii)}\quad y \text{ é função de } t \text{: } y(t)=2t+1;\\\ &\text{Objetivo: calcular } \displaystyle \frac{dz}{dt}. \end{aligned}éçãéçãéçã

Passo 2

Primeiro processo pedido: montar a função z(t) substituindo x(t) e y(t) em z=x^{2}y. Vou substituir passo a passo e explicar cada substituição com calma.

Passo 3

Calcule x(t)^{2}. Como x(t)=e^{t^{2}}, temos
x(t)^{2}=\big(e^{t^{2}}\big)^{2}=e^{2t^{2}}.
Aqui usei a propriedade de potências: \big(a^{b}\big)^{c}=a^{bc}.

Passo 4

Agora escrevo z(t) substituindo x(t)^{2} e y(t):
z(t)=x(t)^{2}\,y(t)=e^{2t^{2}}\,(2t+1).
Pronto — montamos a função z em termos de t.

Passo 5

Para derivar z(t)=u(t)\,v(t) onde u(t)=e^{2t^{2}} e v(t)=2t+1, usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se w(t)=u(t)v(t), então
\frac{dw}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Explicando devagar: a derivada de um produto é a soma de “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo” mais “o primeiro vezes a derivada do segundo”.

Passo 6

Calcule v'(t). Como v(t)=2t+1, a derivada é
v'(t)=2.
É a derivada de uma reta: coeficiente angular.

Passo 7

Calcule u'(t). Aqui usamos a regra da cadeia porque u(t)=e^{g(t)} com g(t)=2t^{2}. A regra da cadeia para exponencial é:
\frac{d}{dt}e^{g(t)}=e^{g(t)}\cdot g'(t).
Então primeiro calcule g'(t). Como g(t)=2t^{2},
g'(t)=4t.
Portanto
u'(t)=\frac{d}{dt}e^{2t^{2}}=e^{2t^{2}}\cdot 4t=4t\,e^{2t^{2}}.

Passo 8

Agora aplique a regra do produto com os u',u,v',v que achamos:
\frac{dz}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=(4t\,e^{2t^{2}})(2t+1)+e^{2t^{2}}\cdot 2.

Passo 9

Simplifique a expressão fatorando e^{2t^{2}} (está presente em ambos os termos):
\frac{dz}{dt}=e^{2t^{2}}\big(4t(2t+1)+2\big).
Calcule o que está dentro dos parênteses:
4t(2t+1)=8t^{2}+4t,
então
4t(2t+1)+2=8t^{2}+4t+2.

Passo 10

Podemos deixar a resposta final de duas formas equivalentes; uma com fator comum 2 extraído:
\frac{dz}{dt}=e^{2t^{2}}\,(8t^{2}+4t+2)=2\,e^{2t^{2}}\,(4t^{2}+2t+1).

Passo 11

Por que escolhi montar z(t) e usar regra do produto em vez de aplicar direto a fórmula da derivada por variáveis parciais? Porque aqui é simples e direto: compor as funções dá uma única função de t e a regra do produto + cadeia resolvem rapidamente sem complicação — é exatamente o “1º processo” pedido. Vai bem para prova: compõe, identifica produto, aplica produto e cadeia, fatura a simplificação.

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt}=e^{2t^{2}}\,(8t^{2}+4t+2)=2\,e^{2t^{2}}\,(4t^{2}+2t+1)

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