Exemplo 5.0.1. Seja f(x, y)=x^{2}+y^{2}. Calcule \nabla f(1,1) e represente-o geometricamente.
\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right)=(2 x, 2 y) .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular \nabla f(1,1) e representar esse vetor geometricamente no plano.
As informações dadas são: a função \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}\, e a expressão geral do gradiente mostrada no enunciado \,\nabla f(x,y)=(2x,2y)\,. A figura associada mostra um vetor saindo do ponto (1,1).

Passo 2

O que significa calcular o gradiente e como se obtém suas componentes? Vou explicar passo a passo de um jeito bem tranquilo.
  • Definição de derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), mede a taxa de variação de f quando variamos x e mantemos y fixo. É como derivar uma função de uma variável só, tratando y como constante. Analogamente para \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
  • Para nossa função \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,: ao derivar em relação a x tratamos y^{2} como constante, então a derivada de x^{2} é 2x e a de y^{2} é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
Ao derivar em relação a y tratamos x^{2} como constante, então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.
  • O gradiente é o vetor formado por essas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=(2x,2y).

Passo 3

Agora avalio o gradiente no ponto (1,1). Basta substituir x=1 e y=1 nas componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot 1=2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2\cdot 1=2.
Portanto
\nabla f(1,1)=(2,2).

Passo 4

Vou explicar didaticamente o significado geométrico desse vetor para você saber interpretar e desenhar na prova.
  • Direção do máximo crescimento: o gradiente \nabla f(1,1)=(2,2) aponta na direção em que f aumenta mais rápido a partir de (1,1). No plano cartesiano isso é para nordeste (diagonal com inclinação 1), porque as componentes são iguais e positivas.
  • Magnitude como taxa de aumento: o comprimento (norma) do gradiente mede quão rápido a função cresce naquela direção por unidade de deslocamento. A norma é
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Isto significa que, se você andar uma unidade na direção do vetor unitário na mesma direção, a função aumenta aproximadamente 2\sqrt{2}.
  • Perpendicular às curvas de nível: as curvas de nível de f são os círculos \,x^{2}+y^{2}=\text{constante}\,. No ponto (1,1) a curva de nível correspondente é o círculo de raio \sqrt{2}. O gradiente é sempre perpendicular (normal) a essas curvas de nível. Para ver isso aqui note que o vetor radial (1,1) é normal ao círculo e \nabla f(1,1)=2(1,1) tem a mesma direção, só que escalado.

Passo 5

Como desenhar o vetor na figura (dica prática para prova):
  • Ancore o vetor no ponto (1,1). Isso significa que a “cauda” do vetor fica em (1,1).
  • As componentes são (2,2), então se você desenhar o vetor “sem escala” ele vai de (1,1) até (1+2,\,1+2)=(3,3). Na prática em uma figura pequena você pode desenhar uma versão proporcional (escalar) para caber no desenho, desde que a direção e o sentido (nordeste) estejam corretos.
  • Verifique que esse vetor é perpendicular ao círculo que passa por (1,1) e aponta para fora (direção de crescimento).

Passo 6

Para reforçar o entendimento com um exemplo numérico curto: considere o vetor unitário na direção nordeste \,u=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\,. A derivada direcional de f em (1,1) na direção u é
D_{u}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot u=(2,2)\cdot\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=2\sqrt{2},
que coincide com a norma do gradiente porque \,u tem a mesma direção do gradiente. Isso confirma que o gradiente indica direção e taxa máximo de crescimento.

Resposta

\nabla f(1,1)=(2,2)

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