Exemplo 5.0.1. Seja
. Calcule
e represente-o geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular
e representar esse vetor geometricamente no plano.
As informações dadas são: a função e a expressão geral do gradiente mostrada no enunciado
. A figura associada mostra um vetor saindo do ponto
.
As informações dadas são: a função
Passo 2
O que significa calcular o gradiente e como se obtém suas componentes? Vou explicar passo a passo de um jeito bem tranquilo.
-
Definição de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação de quando variamos e mantemos fixo. É como derivar uma função de uma variável só, tratando como constante. Analogamente para . -
Para nossa função
: ao derivar em relação a tratamos como constante, então a derivada de é e a de é . Logo
Ao derivar em relação a
tratamos
como constante, então
- O gradiente é o vetor formado por essas derivadas parciais:
Passo 3
Agora avalio o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
nas componentes:
Portanto
Passo 4
Vou explicar didaticamente o significado geométrico desse vetor para você saber interpretar e desenhar na prova.
-
Direção do máximo crescimento: o gradiente
aponta na direção em que aumenta mais rápido a partir de . No plano cartesiano isso é para nordeste (diagonal com inclinação ), porque as componentes são iguais e positivas. -
Magnitude como taxa de aumento: o comprimento (norma) do gradiente mede quão rápido a função cresce naquela direção por unidade de deslocamento. A norma é
Isto significa que, se você andar uma unidade na direção do vetor unitário na mesma direção, a função aumenta aproximadamente
.
- Perpendicular às curvas de nível: as curvas de nível de
são os círculos . No ponto a curva de nível correspondente é o círculo de raio . O gradiente é sempre perpendicular (normal) a essas curvas de nível. Para ver isso aqui note que o vetor radial é normal ao círculo e tem a mesma direção, só que escalado.
Passo 5
Como desenhar o vetor na figura (dica prática para prova):
- Ancore o vetor no ponto
. Isso significa que a “cauda” do vetor fica em . - As componentes são
, então se você desenhar o vetor “sem escala” ele vai de até . Na prática em uma figura pequena você pode desenhar uma versão proporcional (escalar) para caber no desenho, desde que a direção e o sentido (nordeste) estejam corretos. - Verifique que esse vetor é perpendicular ao círculo que passa por
e aponta para fora (direção de crescimento).
Passo 6
Para reforçar o entendimento com um exemplo numérico curto: considere o vetor unitário na direção nordeste
. A derivada direcional de
em
na direção
é
que coincide com a norma do gradiente porque
tem a mesma direção do gradiente. Isso confirma que o gradiente indica direção e taxa máximo de crescimento.