Exemplo 5.1: Seja f(x, y)=x^2+y^2. Calcule, pelos dois processos, partial fpartial u(Xo) quando:
u=(1 / raiz2, 1 / raiz2) e X0=(2,1);

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+y^2 na direção unitária u=(1/raiz2,1/raiz2) em X0=(2,1). Vamos calcular de duas formas:
  1. Pela definição via limite.
  2. Usando o gradiente de f.

Passo 2

Pela definição,
partial fpartial u(X0) = limtto 0f(X0+tu)-f(X0)t
Temos
X0+tu=l(2+traiz2,,1+traiz2r),
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f(X0+tu) =l(2+traiz2r)^2+l(1+traiz2r)^2 =5+6traiz2+t^2
Como f(X0)=5,
f(X0+tu)-f(X0)t =6t/raiz2+t^2t =6raiz2+t
e, fazendo tto0,
partial fpartial u(X0) =6raiz2 =3raiz2

Passo 3

Pela propriedade do gradiente, sabemos que
nabla f(x,y)=(2x,,2y),
então em X0=(2,1)
nabla f(2,1)=(4,2)
A derivada direcional é o produto escalar nabla f(2,1)cdotu:
(4,2)cdotl(1raiz2,1raiz2r) =4+2raiz2 =6raiz2 =3raiz2

Resposta

partial fpartial u(X0)=3raiz2

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