Exercício 5.3.4. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção indicada pelo ângulo \theta.
(a) f(x, y)=x^{3} y^{4}-x^{4} y^{3},(1,1), \theta=\pi / 6
(b) f(x, y)=e^{x} \cos (y),(0,0), \theta=\pi / 4

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada direcional de uma função num ponto, na direção indicada pelo ângulo \theta. Especificamente:
(a) Função \;f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}, ponto \;(1,1), ângulo \;\theta=\pi/6.
(b) Função \;f(x,y)=e^{x}\cos(y), ponto \;(0,0), ângulo \;\theta=\pi/4.
Informações dadas que vamos usar: as expressões de f em cada item, os pontos onde a derivada direcional deve ser avaliada e os ângulos \theta que definem a direção.

Passo 2

O que é derivada direcional e como vamos calcular (aula rápida e prática).
Definição prática: a derivada direcional de f no ponto (a,b) na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de (a,b) na direção de \mathbf{u}. Uma forma conveniente de calcular é usar o gradiente de f:
D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf{u}=f_x(a,b)\,u_1+f_y(a,b)\,u_2.
Explicando os termos:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, derivamos f tratando y como constante.
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante.
  • \nabla f(a,b)=(f_x(a,b),f_y(a,b)) é o vetor gradiente, que aponta na direção de maior aumento de f.
  • \mathbf{u} deve ser unitário. Se a direção é dada por um ângulo \theta medido a partir do eixo x, então:
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta).
Outra maneira de ver (intuitiva): defina g(t)=f(a+u_1 t,b+u_2 t). Então D_{\mathbf{u}}f(a,b)=g'(0). Pelo teorema da cadeia isso dá a fórmula do produto escalar acima.

Passo 3

Aplicando o método ao item (a).
  1. Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{4}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{3}\big) =3x^{2}y^{4}-4x^{3}y^{3}.
Posso fatorar para ficar mais claro:
f_x(x,y)=x^{2}y^{3}\big(3y-4x\big).
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{4}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}y^{3}\big) =4x^{3}y^{3}-3x^{4}y^{2}.
Fatorando:
f_y(x,y)=x^{3}y^{2}\big(4y-3x\big).
  1. Avaliar as parciais no ponto (1,1).
Substituindo (x,y)=(1,1):
f_x(1,1)=1^{2}\cdot 1^{3}\big(3\cdot1-4\cdot1\big)=1\cdot(3-4)= -1.
f_y(1,1)=1^{3}\cdot 1^{2}\big(4\cdot1-3\cdot1\big)=1\cdot(4-3)= 1.
  1. Vetor unitário na direção \theta=\pi/6.
Sabemos que
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta)=(\cos(\pi/6),\sin(\pi/6))=\Big(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\Big).
  1. Produto escalar gradiente \cdot \mathbf{u}.
Usando a fórmula
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=f_x(1,1)\,u_1+f_y(1,1)\,u_2 =(-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+(1)\cdot\frac{1}{2}.
Somando os termos:
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.
Pequena interpretação: como \sqrt{3}\approx1{,}732, o valor numérico é aproximadamente -0{,}366, ou seja, nessa direção f está diminuindo ligeiramente no ponto.

Passo 4

Aplicando o método ao item (b).
  1. Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x}\cos(y).
Derivada em relação a x (tratando y como constante). Usamos que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \cos(y) é constante:
f_x(x,y)=e^{x}\cos(y).
Derivada em relação a y (tratando x como constante). Usamos que \frac{d}{dy}\cos(y)=-\sin(y) e e^{x} é constante:
f_y(x,y)=-e^{x}\sin(y).
  1. Avaliar as parciais no ponto (0,0).
Substituindo (x,y)=(0,0) e lembrando e^{0}=1,\;\cos 0=1,\;\sin 0=0:
f_x(0,0)=1\cdot 1 = 1, \qquad f_y(0,0)=-1\cdot 0 = 0.
  1. Vetor unitário na direção \theta=\pi/4.
\mathbf{u}=(\cos(\pi/4),\sin(\pi/4))=\Big(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\Big).
  1. Produto escalar gradiente \cdot \mathbf{u}.
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=f_x(0,0)\,u_1+f_y(0,0)\,u_2 =1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Interpretação rápida: resultado positivo indica que f aumenta nessa direção a partir de (0,0), com taxa \sqrt{2}/2.

Passo 5

Resumo e dica rápida para a prova (motivação curta para você).
  • Receita curta que funciona sempre: calcule f_x e f_y, avalie no ponto, forme \mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta) e faça o produto escalar.
  • Em prova, faça as contas de derivadas parciais com calma (trate a outra variável como constante) e procure fatorar para conferir sinais e simplificações rápidas.
  • Você já fez o passo-chave: entender que derivada direcional = gradiente · vetor unitário. Confia no processo — é mecânico e rápido depois de treinar um pouco.

Resposta

(a) \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}
(b) \dfrac{\sqrt{2}}{2}

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