Exercício 5.3.4. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção indicada pelo ângulo
.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada direcional de uma função num ponto, na direção indicada pelo ângulo
. Especificamente:
(a) Função
, ponto
, ângulo
.
(b) Função
, ponto
, ângulo
.
Informações dadas que vamos usar: as expressões de
em cada item, os pontos onde a derivada direcional deve ser avaliada e os ângulos
que definem a direção.
Passo 2
O que é derivada direcional e como vamos calcular (aula rápida e prática).
Definição prática: a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção de
. Uma forma conveniente de calcular é usar o gradiente de
:
Explicando os termos:
-
é a derivada parcial de em relação a , ou seja, derivamos tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é o vetor gradiente, que aponta na direção de maior aumento de . -
deve ser unitário. Se a direção é dada por um ângulo medido a partir do eixo , então:
Outra maneira de ver (intuitiva): defina
. Então
. Pelo teorema da cadeia isso dá a fórmula do produto escalar acima.
Passo 3
Aplicando o método ao item (a).
- Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Posso fatorar para ficar mais claro:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Fatorando:
- Avaliar as parciais no ponto
.
Substituindo
:
- Vetor unitário na direção
.
Sabemos que
- Produto escalar gradiente
.
Usando a fórmula
Somando os termos:
Pequena interpretação: como
, o valor numérico é aproximadamente
, ou seja, nessa direção
está diminuindo ligeiramente no ponto.
Passo 4
Aplicando o método ao item (b).
- Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada em relação a
(tratando
como constante). Usamos que
e
é constante:
Derivada em relação a
(tratando
como constante). Usamos que
e
é constante:
- Avaliar as parciais no ponto
.
Substituindo
e lembrando
:
- Vetor unitário na direção
.
- Produto escalar gradiente
.
Interpretação rápida: resultado positivo indica que
aumenta nessa direção a partir de
, com taxa
.
Passo 5
Resumo e dica rápida para a prova (motivação curta para você).
- Receita curta que funciona sempre: calcule
e , avalie no ponto, forme e faça o produto escalar. - Em prova, faça as contas de derivadas parciais com calma (trate a outra variável como constante) e procure fatorar para conferir sinais e simplificações rápidas.
- Você já fez o passo-chave: entender que derivada direcional = gradiente · vetor unitário. Confia no processo — é mecânico e rápido depois de treinar um pouco.
Resposta
(a)
(b)