A função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x).
y^prime prime+16 y=0 ; y1=cos (4 x) y2=sen(4 x)

Passo 1

O enunciado dá a EDO y''+16y=0 e indica que já conhecemos uma solução y1(x)=cos(4x). O objetivo é, usando redução de ordem, achar uma segunda solução y2(x) linearmente independente de y1(x). Vamos precisar da fórmula de Lagrange para redução de ordem em EDOs lineares de segunda ordem.

Passo 2

Para uma EDO da forma y''+p(x)y'+q(x)y=0 com uma solução conhecida y1(x), a segunda solução pode ser obtida por
y2(x)=y1(x)integral e^-integral p(x),dxl(y1(x)r)^2,dx
Aqui temos p(x)=0, pois não há termo em y'.

Passo 3

Substituindo p(x)=0 e y1(x)=cos(4x) na integral, obtemos
integral e^-integral 0,dxcos^2(4x),dx=integral sec^2(4x),dx
Sabemos que ddxtan(4x)=4sec^2(4x), logo

Passo 4

fatora-se o 4 na integral:
integral sec^2(4x),dx=14tan(4x)+C

Passo 5

Logo a expressão para y2(x) é
y2(x)=cos(4x)cdot 14tan(4x)=14sin(4x)
Podemos desprezar o fator constante 1/4, pois qualquer múltiplo escalar de uma solução também é solução. Portanto basta tomar y2(x)=sin(4x).

Passo 6

Para garantir que y1 e y2 são independentes, podemos checar o Wronskiano:
W(y1,y2)= cos(4x)&sin(4x) -4sin(4x)&4cos(4x) =4cos^2(4x)+4sin^2(4x)=4neq0,
o que confirma a independência linear.

Resposta

y_{2}(x)=\sin(4x)

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