A função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e indica que já conhecemos uma solução
. O objetivo é, usando redução de ordem, achar uma segunda solução
linearmente independente de
. Vamos precisar da fórmula de Lagrange para redução de ordem em EDOs lineares de segunda ordem.
Passo 2
Para uma EDO da forma
com uma solução conhecida
, a segunda solução pode ser obtida por
Aqui temos
, pois não há termo em
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral, obtemos
Sabemos que
, logo
Passo 4
fatora-se o 4 na integral:
Passo 5
Logo a expressão para
é
Podemos desprezar o fator constante
, pois qualquer múltiplo escalar de uma solução também é solução. Portanto basta tomar
.
Passo 6
Para garantir que
e
são independentes, podemos checar o Wronskiano:
o que confirma a independência linear.
Resposta
y_{2}(x)=\sin(4x)