Sejam a e b inteiros positivos tais que a+b é um número primo. Mostre que (a, b)=1.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois inteiros positivos a e b tais que a+b é um número primo. O conteúdo principal aqui é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum (MDC).

Passo 2

Denotemos d = (a,b), ou seja, d é o maior inteiro que divide simultaneamente a e b. Pela definição de divisibilidade, temos que d divide a e também divide b.

Passo 3

Como d divide a e b, ele também divide qualquer combinação linear, em particular divide a soma a+b. Mas a+b é primo, digamos p. Logo, as únicas possibilidades para d são 1 ou p.

Passo 4

Resta ver que d não pode ser p. Se d=p, então p divide a e b, implicando a>= p e b>= p. Assim a+b>= 2p>p, contradizendo o fato de a+b=p. Logo, a única opção é d=1.

Resposta

(a,b)=1.

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