Sejam
e
inteiros positivos tais que
é um número primo. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois inteiros positivos
e
tais que
é um número primo. O conteúdo principal aqui é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum (MDC).
Passo 2
Denotemos
, ou seja,
é o maior inteiro que divide simultaneamente
e
. Pela definição de divisibilidade, temos que
divide
e também divide
.
Passo 3
Como
divide
e
, ele também divide qualquer combinação linear, em particular divide a soma
. Mas
é primo, digamos
. Logo, as únicas possibilidades para
são
ou
.
Passo 4
Resta ver que
não pode ser
. Se
, então
divide
e
, implicando
e
. Assim
, contradizendo o fato de
. Logo, a única opção é
.