Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados:
(a) f(x, y)=x \cos (y) e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, x^{2} \leq y \leq \pi\right\}.
(b) f(x, y)=x y e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 2, y \leq x\right. e \left.x \geq 0\right\}.
(c) f(x, y)=x e B é o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (2,0).
(d) f(x, y)=x+y e B é o paralelogramo de vértices (0,0),(1,1),(3,1) e (2,0).
(e) f(x, y)=\frac{1}{\ln (y)} e B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 2 \leq y \leq 3,0 \leq x \leq \frac{1}{y}\right\}.
(f) f(x, y)=y^{3} e^{x y^{2}} e B é o retângulo 0 \leq x \leq 1,1 \leq y \leq 2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_B f(x,y)\,dx\,dy para seis casos (a) a (f). Vou listar, de forma clara, o que é dado em cada item e qual é a pergunta em cada caso (ou seja, qual integral devemos calcular):
Fazemos a substituição padrão para termos do tipo \sin(x^{2}): seja u=x^{2}. Então du=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{du}{2}. Os limites: x=0\mapsto u=0, x=\sqrt{\pi}\mapsto u=\pi. Assim
Resolução do item (b). Primeiro interpretar a região B: \{(x,y): x^{2}+y^{2}\le 2,\; y\le x,\; x\ge 0\}. É a parte do disco de raio \sqrt{2} centrado na origem, restringida a x\ge 0 e abaixo da reta y=x.
Para essa combinação de círculo e reta, é prático usar coordenadas polares. Lembre-se da transformação
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com o elemento de área dA = r\,dr\,d\theta (aqui o fator r é o Jacobiano — eu explico: ao mudar para polares, cada pequeno retângulo em (r,\theta) cobre uma área r\,dr\,d\theta).
As desigualdades se traduzem em polares:
x^{2}+y^{2}\le 2 vira r^{2}\le 2, logo 0\le r\le \sqrt{2}.
x\ge 0 significa \cos\theta\ge 0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
y\le x significa \sin\theta\le\cos\theta. Dividindo por \cos\theta>0 (na faixa onde \cos\theta\ge0 e realmente não zero exceto nas bordas), obtemos \tan\theta\le 1, isto é \theta\le \tfrac{\pi}{4}. Combinando com o intervalo de x\ge 0, o ângulo varia de \theta=-\tfrac{\pi}{2} até \theta=\tfrac{\pi}{4}.
Resolução do item (c). O triângulo de vértices (0,0),(1,1),(2,0) tem base ao longo do eixo x de x=0 a x=2 e “topo” em (1,1). A fronteira superior é dada por duas retas:
Para 0\le x\le 1 a borda superior é y=x.
Para 1\le x\le 2 a borda superior é y=2-x.
Podemos então escrever a integral como soma de duas integrais em x:
Podemos também escrever isso como \ln\!\big(\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\big). Portanto o item (e) resulta em \ln\!\big(\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\big).
Passo 7
Resolução do item (f). A região B é o retângulo \{0\le x\le 1,\;1\le y\le 2\}. É natural integrar primeiro em x porque o integrando é y^{3}e^{x y^{2}} e a primitiva em x é simples mantendo y fixo.