1. Seja s_{n} a n-ésima reduzida da série harmônica. Prove que para n=2^{m} tem-se s_{n}>1+\frac{m}{2} e conclua daí que a série harmônica é divergente.

Passo 1

O enunciado define
s_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
como a n-ésima soma parcial (reduzida) da série harmônica. Queremos mostrar que, para n = 2^{m},
s_{2^{m}} > 1 + \frac{m}{2},
usando um agrupamento dos termos em blocos cujos comprimentos são potências de 2. Com esse resultado, veremos que s_{2^{m}} cresce sem limite quando m\to\infty, o que prova a divergência da série harmônica.

Passo 2

Escrevemos
s_{2^{m}} = \sum_{k=1}^{2^{m}} \frac{1}{k} = 1 + \sum_{k=2}^{2^{m}} \frac{1}{k}
e a segunda soma dividimos em m blocos de tamanho 2^{k-1}, isto é, para cada k=1,2,\dots,m agrupamos os termos de i=2^{k-1}+1 até i=2^{k}. Assim
s_{2^{m}} = 1 \;+\; \sum_{k=1}^{m} \sum_{i=2^{k-1}+1}^{2^{k}} \frac{1}{i}.

Passo 3

Dentro de cada bloco k, há exatamente 2^{k-1} termos e todo termo satisfaz
\frac{1}{i} \;\ge\; \frac{1}{2^{k}} \quad\text{para }i=2^{k-1}+1,\dots,2^{k}.
Logo a soma do bloco k satisfaz
\sum_{i=2^{k-1}+1}^{2^{k}} \frac{1}{i} \;\ge\; 2^{k-1} \cdot \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Somando essa estimativa para k=1 até k=m obtemos
s_{2^{m}} \;=\; 1 + \sum_{k=1}^{m} \sum_{i=2^{k-1}+1}^{2^{k}} \frac{1}{i} \;>\; 1 + \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{2} = 1 + \frac{m}{2}.

Passo 5

Como m\to\infty implica 2^{m}\to\infty e 1+\tfrac{m}{2}\to\infty, segue que os termos s_{2^{m}} ficam arbitrariamente grandes. Portanto a série harmônica
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
não converge, ou seja, é divergente.

Resposta

Para n=2^{m} vale
s_{2^{m}} > 1 + \frac{m}{2},
e como isso cresce sem limite quando m\to\infty, concluímos que a série harmônica diverge.

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