- Seja
a
-ésima reduzida da série harmônica. Prove que para
tem-se
e conclua daí que a série harmônica é divergente.
Passo 1
O enunciado define
como a
-ésima soma parcial (reduzida) da série harmônica. Queremos mostrar que, para
,
usando um agrupamento dos termos em blocos cujos comprimentos são potências de 2. Com esse resultado, veremos que
cresce sem limite quando
, o que prova a divergência da série harmônica.
Passo 2
Escrevemos
e a segunda soma dividimos em
blocos de tamanho
, isto é, para cada
agrupamos os termos de
até
. Assim
Passo 3
Dentro de cada bloco
, há exatamente
termos e todo termo satisfaz
Logo a soma do bloco
satisfaz
Passo 4
Somando essa estimativa para
até
obtemos
Passo 5
Como
implica
e
, segue que os termos
ficam arbitrariamente grandes. Portanto a série harmônica
não converge, ou seja, é divergente.
Resposta
Para
vale
e como isso cresce sem limite quando
, concluímos que a série harmônica diverge.