Dê um exemplo de uma sequência limitada que admite infinitos valores de x_{n} mas não converge. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência que seja limitada, que tome infinitos valores distintos e que não converge. O conteúdo é análise de sequências reais: precisamos usar as definições de sequência limitada e de convergência para justificar a escolha.

Passo 2

Uma sequência (x_n) é limitada se existe M>0 tal que \lvert x_n\rvert\le M para todo n. Ela converge a L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que \lvert x_n-L\rvert<\varepsilon sempre que n\ge N.

Passo 3

Considere a sequência
x_n = \sin(n),
onde o argumento n é em radianos.

Passo 4

Primeiro, \sin(n) é sempre entre -1 e 1, logo
\lvert x_n\rvert = \lvert \sin(n)\rvert \le 1,
ou seja, (x_n) é limitada com M=1. Em seguida, sabe-se que os valores \sin(n) são infinitamente diversos (a razão entre 1 e \pi é irracional, tornando a sequência densa em [-1,1]), logo há infinitos valores distintos de x_n.

Passo 5

Para ver que (x_n) não converge, basta observar que existem subsequências que se aproximam de 1 e outras que se aproximam de -1. Se (x_n) convergisse a algum L, todas as subsequências também teriam de convergir a L. Mas como há subsequências com limite 1 e outras com limite -1, isso é impossível. Portanto, (x_n) não converge.

Resposta

Um exemplo é
x_n = \sin(n),
que é limitada em [-1,1], assume infinitos valores distintos e não converge.

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