Dê um exemplo de uma sequência limitada que admite infinitos valores de
mas não converge.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência que seja limitada, que tome infinitos valores distintos e que não converge. O conteúdo é análise de sequências reais: precisamos usar as definições de sequência limitada e de convergência para justificar a escolha.
Passo 2
Uma sequência
é limitada se existe
tal que
para todo
. Ela converge a
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
.
Passo 3
Considere a sequência
onde o argumento
é em radianos.
Passo 4
Primeiro,
é sempre entre
e
, logo
ou seja,
é limitada com
. Em seguida, sabe-se que os valores
são infinitamente diversos (a razão entre
e
é irracional, tornando a sequência densa em
), logo há infinitos valores distintos de
.
Passo 5
Para ver que
não converge, basta observar que existem subsequências que se aproximam de
e outras que se aproximam de
. Se
convergisse a algum
, todas as subsequências também teriam de convergir a
. Mas como há subsequências com limite
e outras com limite
, isso é impossível. Portanto,
não converge.
Resposta
Um exemplo é
que é limitada em
, assume infinitos valores distintos e não converge.