Seja a um número real tal que 0<\mathrm{a}<1 e considere A=\left\{\frac{n}{n-a} ; n \in N\right\}. Mostre que \sup \mathrm{A}=\frac{1}{1-a} \mathrm{e} \inf \mathrm{A}=1 .(2,0)

Passo 1

O enunciado toma um real a tal que 0<a<1 e define o conjunto
A = \bigl\{\frac{n}{\,n-a\,}\colon n\in\mathbb{N}\bigr\}.
Queremos identificar \sup A e \inf A. Para isso, vamos ver que a sequência f(n)=\frac{n}{n-a} é estritamente decrescente e limitada abaixo por 1.

Passo 2

Escrevendo cada termo como soma de 1 e uma fração, temos
\frac{n}{n-a} \;=\; 1 \;+\;\frac{a}{\,n-a\,}.
Como a>0 e n-a>0, segue que \frac{n}{n-a}>1 para todo n.
Para mostrar decrescimento, calculemos a diferença entre termos consecutivos:
f(n)-f(n+1) =\frac{n}{n-a}-\frac{n+1}{n+1-a} =\frac{a}{(n-a)(n+1-a)}>0.
Logo f(n)>f(n+1), isto é, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Num conjunto formado por uma sequência decrescente, o maior termo é o primeiro. Assim, f(1) é o máximo de A e, portanto,
\sup A = f(1) = \frac{1}{1-a}.

Passo 4

Como \bigl(f(n)\bigr) é decrescente e limitada abaixo por 1, seu ínfimo é o seu limite quando n\to\infty.
Calculando
\lim_{n\to\infty}f(n) =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{n-a}\Bigr) =1,
vemos que 1 é o maior limite inferior de A. Logo
\inf A = 1.

Resposta

\sup A = \frac{1}{1-a} \inf A = 1

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