Seja a um número real tal que
e considere
. Mostre que
Passo 1
O enunciado toma um real
tal que
e define o conjunto
Queremos identificar
e
. Para isso, vamos ver que a sequência
é estritamente decrescente e limitada abaixo por
.
Passo 2
Escrevendo cada termo como soma de
e uma fração, temos
Como
e
, segue que
para todo
.
Para mostrar decrescimento, calculemos a diferença entre termos consecutivos:
Para mostrar decrescimento, calculemos a diferença entre termos consecutivos:
Logo
, isto é, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Num conjunto formado por uma sequência decrescente, o maior termo é o primeiro. Assim,
é o máximo de
e, portanto,
Passo 4
Como
é decrescente e limitada abaixo por
, seu ínfimo é o seu limite quando
.
Calculando
Calculando
vemos que
é o maior limite inferior de
. Logo