Sejam
uma sequência crescente e
. Mostre que
converge para supX.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma sequência monotonicamente crescente e que
Queremos mostrar que
converge para
O conteúdo que vamos usar é a definição de limite de sequência e a propriedade de supremum (menor cota superior) garantida pela completude de
.
Passo 2
Defina
Por definição de supremum temos duas coisas importantes:
- Para todo
, . - Dado qualquer
, o número não é uma cota superior de .
Passo 3
Fixe um
. Como
não é cota superior de
, existe algum índice
tal que
Passo 4
Como a sequência é crescente, para todo
vale
e ao mesmo tempo sempre
. Portanto, para todo
temos
Passo 5
Acabamos de verificar a definição de limite: dado
existe
tal que para todo
temos
. Logo