Sejam \left(x_{n}\right) uma sequência crescente e X=\left\{x_{n} ; n \in N\right\}. Mostre que \left(x_{n}\right) converge para supX. (2,0)

Passo 1

O enunciado diz que \bigl(x_{n}\bigr) é uma sequência monotonicamente crescente e que
X = \{\,x_{n} : n\in\mathbb{N}\}.
Queremos mostrar que \bigl(x_{n}\bigr) converge para
\sup X.
O conteúdo que vamos usar é a definição de limite de sequência e a propriedade de supremum (menor cota superior) garantida pela completude de \mathbb{R}.

Passo 2

Defina
L = \sup X.
Por definição de supremum temos duas coisas importantes:
  1. Para todo n, x_{n}\le L.
  2. Dado qualquer \epsilon>0, o número L-\epsilon não é uma cota superior de X.

Passo 3

Fixe um \epsilon>0. Como L-\epsilon não é cota superior de X, existe algum índice N\in\mathbb{N} tal que
x_{N} > L - \epsilon.

Passo 4

Como a sequência é crescente, para todo n\ge N vale
x_{n}\ge x_{N} > L - \epsilon,
e ao mesmo tempo sempre x_{n}\le L. Portanto, para todo n\ge N temos
L - \epsilon < x_{n} \le L \quad\Longrightarrow\quad |x_{n}-L| < \epsilon.

Passo 5

Acabamos de verificar a definição de limite: dado \epsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N temos |x_{n}-L|<\epsilon. Logo
\lim_{n\to\infty}x_{n} = L = \sup X.

Resposta

\lim_{n\to\infty}x_{n} = \sup X.

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