Mostre que, se
e existe
tal que
para todo número natural n , então
. Mostre também que, se retirarmos a hipótese de que existe
tal que
para todo número natural
, o resultado é falso.
Passo 1
O enunciado trabalha com sequências
e
. Diz que
(ou seja, para todo
existe
tal que
para
) e que existe
com
para todo
. Preciso mostrar que então
. Na segunda parte, retirar a hipótese de
e dar um contraexemplo onde
e
mas
não tende a
.
Passo 2
Seja
. Como
para todo
, temos
Também
significa que existe
tal que, para todo
,
Multiplicando essa desigualdade por
(que inverte o sinal duas vezes, voltando ao “>”):
Logo, para todo
,
Isso mostra que, dado qualquer
, existe
com
para
, ou seja,
.
Passo 3
Agora sem a hipótese de um
fixo tal que
. Considere o contraexemplo
Aqui
e
para todo
, mas não existe
com
para todo
(pois
aproxima-se de
). O produto é
que não tende a
.
Resposta
Com a hipótese de existir
tal que
, provamos que
. Sem essa hipótese, o exemplo
,
mostra que
pode ficar constante e não divergir para
.