Mostre que, se x_{n} \rightarrow-\infty e existe c>0 tal que y_{n}<-c para todo número natural n , então x_{n} y_{n} \rightarrow+\infty. Mostre também que, se retirarmos a hipótese de que existe c>0 tal que y_{n}<-c para todo número natural n, o resultado é falso. (2,0)

Passo 1

O enunciado trabalha com sequências (x_{n}) e (y_{n}). Diz que x_{n}\to -\infty (ou seja, para todo L\in\mathbb{R} existe N tal que x_{n}<L para n\ge N) e que existe c>0 com y_{n}< -c para todo n. Preciso mostrar que então x_{n}y_{n}\to +\infty. Na segunda parte, retirar a hipótese de y_{n}< -c e dar um contraexemplo onde x_{n}\to -\infty e y_{n}<0 mas x_{n}y_{n} não tende a +\infty.

Passo 2

Seja M>0. Como y_{n}< -c para todo n, temos
x_{n}y_{n} \;>\; x_{n}\,(-c)\;=\;-c\,x_{n}.
Também x_{n}\to -\infty significa que existe N tal que, para todo n\ge N,
x_{n} < -\frac{M}{c}.
Multiplicando essa desigualdade por -c>0 (que inverte o sinal duas vezes, voltando ao “>”):
-c\,x_{n} > -c\;\Bigl(-\frac{M}{c}\Bigr)=M.
Logo, para todo n\ge N,
x_{n}y_{n} > -c\,x_{n} > M.
Isso mostra que, dado qualquer M>0, existe N com x_{n}y_{n}>M para n\ge N, ou seja, x_{n}y_{n}\to +\infty.

Passo 3

Agora sem a hipótese de um c>0 fixo tal que y_{n}<-c. Considere o contraexemplo
x_{n} = -n, \quad y_{n} = -\frac{1}{n}.
Aqui x_{n}\to -\infty e y_{n}<0 para todo n, mas não existe c>0 com y_{n}<-c para todo n (pois -1/n aproxima-se de 0). O produto é
x_{n}y_{n} = \bigl(-n\bigr)\Bigl(-\frac{1}{n}\Bigr)=1,
que não tende a +\infty.

Resposta

Com a hipótese de existir c>0 tal que y_{n}<-c, provamos que x_{n}y_{n}\to +\infty. Sem essa hipótese, o exemplo x_{n}=-n, y_{n}=-1/n mostra que x_{n}y_{n} pode ficar constante e não divergir para +\infty.

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