Nos problemas 1-18, resolva a equação diferencial dada.
x^{4} y^{(4)}+6 x^{3} y^{\prime \prime \prime}+9 x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^{4}y^{(4)}+6x^{3}y^{\prime\prime\prime}+9x^{2}y^{\prime\prime}+3xy^{\prime}+y=0.
O conteúdo aqui é identificar que se trata de uma equação de Euler, para a qual fazemos a suposição típica y=x^{m} e obtemos um polinômio característico em m.

Passo 2

Supondo a solução da forma y=x^{m}, temos
y^{\prime}=m x^{m-1},\quad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2},\quad y^{\prime\prime\prime}=m(m-1)(m-2)x^{m-3},
y^{(4)}=m(m-1)(m-2)(m-3)x^{m-4}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original e fatorando x^{m}, obtemos o polinômio característico
m(m-1)(m-2)(m-3)+6m(m-1)(m-2)+9m(m-1)+3m+1=0.

Passo 4

Expandindo termo a termo:
m(m-1)(m-2)(m-3)=m^{4}-6m^{3}+11m^{2}-6m,
6m(m-1)(m-2)=6m^{3}-18m^{2}+12m,
9m(m-1)=9m^{2}-9m,
e somando tudo mais 3m+1 resulta em
m^{4}+2m^{2}+1=0.

Passo 5

O polinômio m^{4}+2m^{2}+1=(m^{2}+1)^{2}=0 tem raízes complexas duplas
m=i\quad(\text{multiplicidade }2),\qquad m=-i\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 6

Para raízes 0\pm i de multiplicidade 2 em uma equação de Euler, a solução geral é
y=(C_{1}+C_{3}\ln x)\cos(\ln x)+(C_{2}+C_{4}\ln x)\sin(\ln x),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Resposta

y=(C_{1}+C_{3}\ln x)\cos(\ln x)+(C_{2}+C_{4}\ln x)\sin(\ln x).

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