Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a série geométrica e derivações termo a termo.
Passo 2
Para começar, lembre a série geométrica: para
vale
Isso é nossa base.
Passo 3
Derivando termo a termo em relação a
temos
Multiplicando por
e somando com a série original, fica claro que
Passo 4
Repetindo o processo de derivar e combinar, mostramos que
Aqui usamos que
e derivadas adequadas.
Passo 5
Mais uma derivada e combinação levam a
Isso vem de escrever
e usar as séries já conhecidas.
Passo 6
Para terminar, basta dividir tudo por 6. Assim obtemos
que é exatamente o que queríamos mostrar.