Mostre que sumn=0^infty (n+1)(n+2)(n+3)6 x^n=1(1-x)^4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que sumn=0^infty (n+1)(n+2)(n+3)6x^n = 1(1-x)^4. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a série geométrica e derivações termo a termo.

Passo 2

Para começar, lembre a série geométrica: para |x|<1 vale
sumn=0^infty x^n ,=, 11-x
Isso é nossa base.

Passo 3

Derivando termo a termo em relação a x temos
sumn=1^infty n x^n-1 ,=, 1(1-x)^2
Multiplicando por x e somando com a série original, fica claro que
sumn=0^infty (n+1)x^n ,=, 1(1-x)^2

Passo 4

Repetindo o processo de derivar e combinar, mostramos que
sumn=0^infty (n+1)(n+2)x^n ,=, 2(1-x)^3
Aqui usamos que (n+1)(n+2)=n(n+1)+2(n+1) e derivadas adequadas.

Passo 5

Mais uma derivada e combinação levam a
sumn=0^infty (n+1)(n+2)(n+3)x^n ,=, 6(1-x)^4
Isso vem de escrever (n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2) e usar as séries já conhecidas.

Passo 6

Para terminar, basta dividir tudo por 6. Assim obtemos
sumn=0^infty (n+1)(n+2)(n+3)6,x^n ,=, 1(1-x)^4,
que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

1(1-x)^4

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