Seja lang<=rang<=:, R^n R uma forma bilinear em R^n. Considere a seguinte aplicação rho: R^n (R^n)^*, dada por
rho(x)(y)=lang<= x, yrang<=
Mostre que rho é linear.

Passo 1

O enunciado define uma forma bilinear \r
lang<=cdot,cdotrang<=:R^ntimesR^ntoR, \r
ou seja, para cada y fixo o mapeamento \r
R^nni xmapstolang<= x,yrang<=inR \r
é linear em x, e vice-versa. A aplicação \r
rho:R^nto(R^n)^* \r
é dada por \r
rho(x)(y)=lang<= x,yrang<=. \r
Precisamos mostrar que rho satisfaz aditividade e homogeneidade, ou seja, que para todo x,x'inR^n e alphainR vale \r
rho(x+x')=rho(x)+rho(x'), rho(alpha x)=alpha,rho(x)

Passo 2

Mostramos a aditividade. Para quaisquer x,x'inR^n e para todo yinR^n,\r
rho(x+x')(y)=lang<= x+x',yrang<= =lang<= x,yrang<=+lang<= x',yrang<= =rho(x)(y)+rho(x')(y) =(rho(x)+rho(x'))(y)\r
Como isto vale para todo y, concluímos \r
rho(x+x')=rho(x)+rho(x')

Passo 3

Mostramos a homogeneidade. Para qualquer alphainR, xinR^n e todo yinR^n,\r
rho(alpha x)(y)=lang<= alpha x,yrang<= =alpha,lang<= x,yrang<= =alpha,rho(x)(y) =(alpha,rho(x))(y)\r
Logo\r
rho(alpha x)=alpha,rho(x)

Passo 4

Como rho satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que rho:R^nto(R^n)^* é linear.

Resposta

A aplicação rho é linear.

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