Seja
uma forma bilinear em
. Considere a seguinte aplicação
, dada por
Mostre que
é linear.
Passo 1
O enunciado define uma forma bilinear \r
, \r
ou seja, para cada fixo o mapeamento \r
\r
é linear em , e vice-versa. A aplicação \r
\r
é dada por \r
. \r
Precisamos mostrar que satisfaz aditividade e homogeneidade, ou seja, que para todo
e
vale \r
ou seja, para cada
é linear em
é dada por \r
Precisamos mostrar que
Passo 2
Mostramos a aditividade. Para quaisquer
e para todo
,\r
Como isto vale para todo
, concluímos \r
Passo 3
Mostramos a homogeneidade. Para qualquer
,
e todo
,\r
Logo\r
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.
Resposta
A aplicação
é linear.