Resolva a equação D_{x}^{2} y=0.
y=6 x^{4}+24 x^{3}-540 x^{2}+7;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Resolver a equação D_{x}^{2}y=0 (ou seja, encontrar a solução geral da equação diferencial).
  • Há uma expressão dada para y: y=6x^{4}+24x^{3}-540x^{2}+7. Deve-se verificar se essa função satisfaz a equação D_{x}^{2}y=0 (ou seja, se sua segunda derivada é identicamente zero).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é D_{x}^{2}y=0.
  • A função proposta é y=6x^{4}+24x^{3}-540x^{2}+7.

Passo 2

Entendendo a notação e o objetivo (sem resolver ainda): D_{x}^{2}y significa a segunda derivada de y em relação a x, normalmente denotada por y''. A equação y''=0 significa que a segunda derivada é a função zero para todo x.
Estratégia para resolver y''=0: integrar a equação duas vezes. Cada integração introduz uma constante arbitrária (constante de integração). Vou explicar o porquê de integrar duas vezes de forma bem direta:
  • Se y''(x)=0 para todo x, então a derivada y'(x) é uma função cuja derivada é zero; a única forma de uma função ter derivada zero em todo lugar é ser uma constante. Assim y'(x) é constante.
  • Depois, integrar y'(x) (constante) dá y(x) linear em x, com outra constante.

Passo 3

Primeira integração: partir de
y''(x)=0.
Integrando em relação a x obtemos
y'(x)=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (um número real arbitrário). Explicando: a integral de 0 é uma constante; essa constante é precisamente y'(x).

Passo 4

Segunda integração: integrar y'(x)=C_{1} em relação a x:
y(x)=\int C_{1}\,dx = C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é uma segunda constante de integração. Conclusão: a solução geral da equação y''=0 é a família de funções lineares em x com dois parâmetros C_{1} e C_{2}.
Interpretação prática: funções cujo gráfico é uma reta têm segunda derivada zero — a curvatura é nula.

Passo 5

Agora verifico se a função dada é solução. A função proposta é
y(x)=6x^{4}+24x^{3}-540x^{2}+7.
Vou calcular y'(x) e y''(x) passo a passo.
Derivada primeira:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(24x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-540x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(7).
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(6x^{4}\bigr)=24x^{3},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(24x^{3}\bigr)=72x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-540x^{2}\bigr)=-1080x,\qquad \frac{d}{dx}(7)=0.
Somando,
y'(x)=24x^{3}+72x^{2}-1080x.

Passo 6

Derivada segunda:
y''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(24x^{3}+72x^{2}-1080x\bigr).
Calculando os termos:
\frac{d}{dx}(24x^{3})=72x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(72x^{2})=144x,\qquad \frac{d}{dx}(-1080x)=-1080.
Somando,
y''(x)=72x^{2}+144x-1080.
Posso fatorar para ver melhor:
y''(x)=72\bigl(x^{2}+2x-15\bigr)=72(x+5)(x-3).

Passo 7

Interpretação do resultado:
  • Para que y(x) seja solução da equação y''=0 é necessário e suficiente que y''(x) seja a função zero para todo x. Aqui y''(x)=72(x+5)(x-3) não é a função zero identicamente: ela é zero apenas nos pontos x=-5 e x=3, e diferente de zero para outros x.
  • Portanto a função dada não satisfaz y''=0 para todo x, logo não é solução da equação diferencial.

Resposta

y=C_{1}x+C_{2},\\ \text{com }C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
Não; para y=6x^{4}+24x^{3}-540x^{2}+7 temos y''(x)=72(x+5)(x-3), que não é identicamente zero.

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