Resolva a equação
.
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Resolver a equação
(ou seja, encontrar a solução geral da equação diferencial). - Há uma expressão dada para
: . Deve-se verificar se essa função satisfaz a equação (ou seja, se sua segunda derivada é identicamente zero).
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A função proposta é
.
Passo 2
Entendendo a notação e o objetivo (sem resolver ainda):
significa a segunda derivada de
em relação a
, normalmente denotada por
. A equação
significa que a segunda derivada é a função zero para todo
.
Estratégia para resolver
: integrar a equação duas vezes. Cada integração introduz uma constante arbitrária (constante de integração). Vou explicar o porquê de integrar duas vezes de forma bem direta:
- Se
para todo , então a derivada é uma função cuja derivada é zero; a única forma de uma função ter derivada zero em todo lugar é ser uma constante. Assim é constante. - Depois, integrar
(constante) dá linear em , com outra constante.
Passo 3
Primeira integração: partir de
Integrando em relação a
obtemos
onde
é uma constante de integração (um número real arbitrário). Explicando: a integral de
é uma constante; essa constante é precisamente
.
Passo 4
Segunda integração: integrar
em relação a
:
onde
é uma segunda constante de integração. Conclusão: a solução geral da equação
é a família de funções lineares em
com dois parâmetros
e
.
Interpretação prática: funções cujo gráfico é uma reta têm segunda derivada zero — a curvatura é nula.
Passo 5
Agora verifico se a função dada é solução. A função proposta é
Vou calcular
e
passo a passo.
Derivada primeira:
Calculando cada termo:
Somando,
Passo 6
Derivada segunda:
Calculando os termos:
Somando,
Posso fatorar para ver melhor:
Passo 7
Interpretação do resultado:
- Para que
seja solução da equação é necessário e suficiente que seja a função zero para todo . Aqui não é a função zero identicamente: ela é zero apenas nos pontos e , e diferente de zero para outros . - Portanto a função dada não satisfaz
para todo , logo não é solução da equação diferencial.
Resposta
Não; para