Questão 6:

Faça um gráfico do fator relativístico \gamma=1 /\left(1-\mathrm{v}^{2} / c^{2}\right)^{-1 / 2} em função de \beta=v / c. Use pelo menos 10 valores de \beta entre 0 e 0,995 .

Passo 1

O enunciado pede para fazermos o gráfico do fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
em função de \beta = \tfrac{v}{c}.
Esse é um conteúdo de relatividade restrita: basta lembrar que \gamma pode ser escrito como
\gamma(\beta)=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\,.
Para resolver, vamos escolher pelo menos 10 valores de \beta no intervalo [0,0{,}995], calcular \gamma(\beta) e depois esboçar a curva.

Passo 2

Reescrevemos explicitamente
\gamma(\beta)=\bigl(1-\beta^2\bigr)^{-1/2}\,,
com domínio 0\le\beta<1. À medida que \beta se aproxima de 1, o denominador \sqrt{1-\beta^2} tende a zero e \gamma cresce muito.

Passo 3

Escolhemos estes 10 valores de \beta:
0;\;0{,}1;\;0{,}2;\;0{,}3;\;0{,}4;\;0{,}5;\;0{,}7;\;0{,}9;\;0{,}99;\;0{,}995.
Agora basta calcular
\gamma(\beta)=1/\sqrt{1-\beta^2} para cada um.

Passo 4

Os resultados aproximados são:
\begin{array}{c|c} \beta & \gamma(\beta) \\hline 0 & 1,000 \\\\ 0{,}1 & 1,005 \\\\ 0{,}2 & 1,020 \\\\ 0{,}3 & 1,048 \\\\ 0{,}4 & 1,091 \\\\ 0{,}5 & 1,155 \\\\ 0{,}7 & 1,400 \\\\ 0{,}9 & 2,294 \\\\ 0{,}99& 7,089 \\\\ 0{,}995&10,013 \end{array}

Passo 5

Para desenhar o gráfico, coloque \beta no eixo horizontal de 0 a 1 e \gamma no vertical. Marque os pontos da tabela e ligue-os com uma curva suave:
  • Para \beta\lesssim0{,}5, \gamma cresce lentamente.
  • Para \beta>0{,}7, a curva sobe cada vez mais rápido.
  • À medida que \beta\to1, \gamma\to\infty, ou seja, o gráfico tende a “disparar” para cima.

Resposta

Veja abaixo a tabela de pontos e o esboço qualitativo do gráfico:
\begin{array}{c|c} \beta & \gamma(\beta) \\hline 0 & 1,000 \\\\ 0{,}1 & 1,005 \\\\ 0{,}2 & 1,020 \\\\ 0{,}3 & 1,048 \\\\ 0{,}4 & 1,091 \\\\ 0{,}5 & 1,155 \\\\ 0{,}7 & 1,400 \\\\ 0{,}9 & 2,294 \\\\ 0{,}99& 7,089 \\\\ 0{,}995&10,013 \end{array}
Esboce uma curva que comece em (0,1), suba suavemente até \beta\approx0{,}5 e depois dispare para cima conforme \beta se aproxima de 1.

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