EXEMPLO 8
Use o Teorema (2.15) para provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Informações dadas:
- A função a ser analisada é
. - Queremos o limite dessa função quando
tende a . - O enunciado manda usar o Teorema (2.15) (que será explicitado a seguir).
Passo 2
Enunciado do Teorema (2.15) — Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche):
sejam ,
e
funções definidas em algum intervalo que contém
, exceto possivelmente em
próprio. Se, para todos os
próximos de
,
sejam
e se
então
Explicando de forma simples:
-
é uma função que fica sempre abaixo de ; -
é uma função que fica sempre acima de ; - se ambas as “fronteiras”
e têm o mesmo limite quando , então também tem limite .
Isso é útil quandoé complicada mas pode ser enfaixada entre duas funções mais simples.
Passo 3
Observação básica sobre o seno: para todo número real
vale
Tomando
(válido para todo
) obtemos
Passo 4
Multiplicando a desigualdade do Passo 3 por
. Note que
para todo
, portanto a ordem das desigualdades não se inverte. Assim, para todo
,
Aqui identificamos
,
e
.
Passo 5
Calcular os limites das funções que enfaixam
:
Ambos são
porque
é uma função polinomial que tende a
quando
, e o sinal negativo apenas muda o sinal, não o limite.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema (2.15)) às desigualdades do Passo 4 e aos limites do Passo 5, concluímos que
Em palavras: a função está “presa” entre
e
, ambas tendendo a
, logo a função do meio também tende a
.
Passo 7
Comentário didático rápido e exemplo análogo: sempre que uma função
é limitada, isto é existe
tal que
para todos
próximos de
, então qualquer produto
tende a
se
. No nosso caso
é limitada por
e
tende a
, por isso o produto tende a
. Exemplo parecido:
.