EXEMPLO 8

Use o Teorema (2.15) para provar que
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen} \frac{1}{x^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}\frac{1}{x^{2}}=0.
Informações dadas:
  • A função a ser analisada é f(x)=x^{2}\operatorname{sen}\frac{1}{x^{2}}.
  • Queremos o limite dessa função quando x tende a 0.
  • O enunciado manda usar o Teorema (2.15) (que será explicitado a seguir).

Passo 2

Enunciado do Teorema (2.15) — Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche):
sejam g(x), f(x) e h(x) funções definidas em algum intervalo que contém a, exceto possivelmente em a próprio. Se, para todos os x próximos de a,
g(x)\le f(x)\le h(x)
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Explicando de forma simples:
  • g(x) é uma função que fica sempre abaixo de f(x);
  • h(x) é uma função que fica sempre acima de f(x);
  • se ambas as “fronteiras” g e h têm o mesmo limite L quando x\to a, então f também tem limite L.
    Isso é útil quando f é complicada mas pode ser enfaixada entre duas funções mais simples.

Passo 3

Observação básica sobre o seno: para todo número real t vale
-1\le \operatorname{sen} t\le 1.
Tomando t=\dfrac{1}{x^{2}} (válido para todo x\neq 0) obtemos
-1\le \operatorname{sen}\frac{1}{x^{2}}\le 1\qquad\text{para todo }x\neq 0.

Passo 4

Multiplicando a desigualdade do Passo 3 por x^{2}. Note que x^{2}\ge 0 para todo x, portanto a ordem das desigualdades não se inverte. Assim, para todo x\neq 0,
-x^{2}\le x^{2}\operatorname{sen}\frac{1}{x^{2}}\le x^{2}.
Aqui identificamos g(x)=-x^{2}, f(x)=x^{2}\operatorname{sen}\frac{1}{x^{2}} e h(x)=x^{2}.

Passo 5

Calcular os limites das funções que enfaixam f:
\lim_{x\to 0} x^{2}=0, \qquad \lim_{x\to 0} -x^{2}=0.
Ambos são 0 porque x^{2} é uma função polinomial que tende a 0 quando x\to 0, e o sinal negativo apenas muda o sinal, não o limite.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (Teorema (2.15)) às desigualdades do Passo 4 e aos limites do Passo 5, concluímos que
\lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}\frac{1}{x^{2}}=0.
Em palavras: a função está “presa” entre -x^{2} e x^{2}, ambas tendendo a 0, logo a função do meio também tende a 0.

Passo 7

Comentário didático rápido e exemplo análogo: sempre que uma função g(x) é limitada, isto é existe M>0 tal que |g(x)|\le M para todos x próximos de a, então qualquer produto h(x)g(x) tende a 0 se \lim_{x\to a} h(x)=0. No nosso caso g(x)=\operatorname{sen}(1/x^{2}) é limitada por 1 e h(x)=x^{2} tende a 0, por isso o produto tende a 0. Exemplo parecido: \lim_{x\to 0} x\operatorname{sen}\frac{1}{x}=0.

Resposta

0

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