Exercs. 23-24: Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.
  • 23 \lim _{z \rightarrow-2} \frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando z tende a -2 da expressão
\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}.
Informações dadas:
  • A variável que se aproxima é z.
  • O ponto de aproximação é z\to -2.
  • A expressão é uma razão cuja parte superior é \frac{1}{z-4} e a parte inferior é z^{2}-2z-8.

Passo 2

Reescrevo a expressão como um único quociente (multiplicando pelo inverso do denominador):
\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}=\frac{1}{z-4}\cdot\frac{1}{z^{2}-2 z-8}=\frac{1}{(z-4)\,(z^{2}-2 z-8)}.

Passo 3

Faço a fatoração do polinômio quadrático do denominador. Procuro dois números cujo produto seja -8 e soma seja -2: esses números são -4 e 2. Assim
z^{2}-2 z-8=(z-4)(z+2).
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
\frac{1}{(z-4)\,(z^{2}-2 z-8)}=\frac{1}{(z-4)\,(z-4)(z+2)}=\frac{1}{(z-4)^{2}(z+2)}.

Passo 4

Agora analiso o comportamento quando z\to -2. Se eu substituir diretamente z=-2 na forma simplificada, o numerador é 1 (não nulo) e o denominador é
(z-4)^{2}(z+2)\Big|_{z=-2}=(-2-4)^{2}\cdot(-2+2)=36\cdot 0=0.
Logo o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a 1\neq 0. Nesses casos a magnitude da fração tende a infinito (ou menos infinito), dependendo do sinal do denominador quando z se aproxima.

Passo 5

Determino o sinal da expressão perto de z=-2. Observe que (z-4)^{2}>0 para qualquer z\neq 4, então o sinal do denominador é o mesmo do fator (z+2).
  • Se z\to -2^{-} (pela esquerda), então z+2<0 e o denominador é negativo e muito pequeno em módulo, portanto
\lim_{z\to -2^{-}}\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}=-\infty.
  • Se z\to -2^{+} (pela direita), então z+2>0 e o denominador é positivo e muito pequeno em módulo, portanto
\lim_{z\to -2^{+}}\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}=+\infty.

Passo 6

Como os limites laterais não coincidem ( -\infty à esquerda e +\infty à direita), o limite bilateral em z\to -2 não existe (não existe um número finito nem um infinito único).

Resposta

O limite bilateral não existe.
\displaystyle \lim_{z\to -2^-}\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}=-\infty
\displaystyle \lim_{z\to -2^+}\frac{\frac{1}{z-4}}{z^{2}-2 z-8}=+\infty

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