Prove usando a definição que lim x +infty 1x^7=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite quando xto+infty, que
limxto+infty1x^7=0
O conteúdo envolvido é a definição de limite infinito: mostrar que para todo varepsilon>0 existe M>0 tal que, se x>M, então l|f(x)-Lr|<varepsilon, onde aqui f(x)=1/x^7 e L=0.

Passo 2

Vamos escrever a definição. Queremos que
forall varepsilon>0;exists M>0;tal que, se x>M,;então;l|1x^7-0r|<varepsilon ã

Passo 3

Observe que, para x>0,
l|1x^7-0r|=1x^7
Logo, a condição l|1/x^7-0r|<varepsilon fica
1x^7<varepsilon

Passo 4

Resolver 1x^7<varepsilon em função de x:
1x^7<varepsilon Long<=ftrightarrow x^7>1varepsilon Long<=ftrightarrow x>l(tfrac1varepsilonr)^1/7

Passo 5

Portanto, basta escolher
M=l(tfrac1varepsilonr)^1/7
Com essa escolha temos M>0 e sempre que x>M segue
1x^7<=1M^7=varepsilon,
o que é exatamente l|1/x^7-0r|<varepsilon. Isso encerra a prova pela definição.

Resposta

limxto+infty1x^7=0.

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