Exemplo 2.4. Verifique a seguinte generalização da regra 1.1 para expoentes negativos: sendo n um inteiro positivo, (x^-n)^prime=-n x^-n-1.
Solução. Aplicando o resultado da propriedade 2.2, temos
(x^-n)^prime=(1x^n)^prime=-(x^n)^prime(x^n)^2=-n x^n-1x^2 n=-n x^-n-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo n um inteiro positivo, a derivada de x^-n é -n x^-n-1. O conteúdo envolvido é a derivação de potências e, em particular, a aplicação da propriedade da derivada de recíproca (propriedade 2.2) combinada com a regra do poder para expoentes positivos.

Passo 2

Vamos usar a propriedade 2.2, que diz que, para u(x) diferenciável,
l(u(x)^-1r)' ;=; -u'(x)l(u(x)r)^2
Aqui escolhemos u(x)=x^n, de modo que u(x)^-1=x^-n.

Passo 3

Calculamos primeiro
u'(x) ;=;(x^n)' ;=;n,x^n-1
Substituindo na propriedade 2.2, obtemos
(x^-n)' ;=;(1/x^n)' ;=;-,n,x^n-1(x^n)^2

Passo 4

Basta agora simplificar o denominador, pois (x^n)^2=x^2n. Logo,
-n,x^n-1x^2n ;=; -,n,x^,n-1-2n ;=; -,n,x^-n-1

Resposta

(x^-n)' ;=;-,n,x^-n-1

Exercícios relacionados