Exemplo 2.4. Verifique a seguinte generalização da regra 1.1 para expoentes negativos: sendo
um inteiro positivo,
.
Solução. Aplicando o resultado da propriedade 2.2, temos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo
um inteiro positivo, a derivada de
é
. O conteúdo envolvido é a derivação de potências e, em particular, a aplicação da propriedade da derivada de recíproca (propriedade 2.2) combinada com a regra do poder para expoentes positivos.
Passo 2
Vamos usar a propriedade 2.2, que diz que, para
diferenciável,
Aqui escolhemos
, de modo que
.
Passo 3
Calculamos primeiro
Substituindo na propriedade 2.2, obtemos
Passo 4
Basta agora simplificar o denominador, pois
. Logo,