Dê exemplos de aplicações T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que são lineares e que não são lineares. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas aplicações T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2: uma que seja linear e outra que não seja. Para decidir se uma aplicação é linear, usamos a definição: ela deve satisfazer, para todos \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c\in\mathbb{R},
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) \quad\text{e}\quad T(c\,\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).
Se falhar em alguma dessas igualdades, não é linear.

Passo 2

Um exemplo de aplicação linear é
T(x,y,z) = (\,x + 2y - z\,,\,3x - y + z\,).
Para ver a linearidade, tome \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) = \bigl((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-(z_1+z_2),\;\dots\bigr)
= \bigl((x_1+2y_1-z_1)+(x_2+2y_2-z_2),\;(3x_1-y_1+z_1)+(3x_2-y_2+z_2)\bigr) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).
De modo semelhante,
T(c\,\mathbf{u}) = (\,c x_1 +2c y_1 - c z_1,\;3c x_1 - c y_1 + c z_1) = c\,T(\mathbf{u}).
Logo, T é linear.

Passo 3

Um exemplo de aplicação que não é linear é
S(x,y,z) = (\,x\,y,\;z\,).
Basta encontrar um contraexemplo. Por exemplo, tome \mathbf{u}=(1,0,0) e \mathbf{v}=(0,1,0). Então
S(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = S(1,1,0) = (1\cdot 1,\;0) = (1,0),
mas
S(\mathbf{u}) + S(\mathbf{v}) = (1\cdot 0,0) + (0\cdot1,0) = (0,0) + (0,0) = (0,0).
Como (1,0)\neq(0,0), não vale S(\mathbf{u}+\mathbf{v})=S(\mathbf{u})+S(\mathbf{v}), logo S não é linear.

Resposta

Exemplo linear:
T(x,y,z) = (\,x + 2y - z\,,\,3x - y + z\,).
Exemplo não linear:
S(x,y,z) = (\,x\,y,\;z\,).

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