Mostre que a aplicação D: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), definida por
D(p(x))=p^{\prime}(x),
é linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
D:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),\quad D(p(x))=p'(x),
e pede para mostrar que D é linear, ou seja, que satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Para quaisquer p,q\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}),
D\bigl(p(x)+q(x)\bigr) =\bigl(p(x)+q(x)\bigr)' =p'(x)+q'(x) =D\bigl(p(x)\bigr)+D\bigl(q(x)\bigr).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e p\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}),
D\bigl(c\,p(x)\bigr) =\bigl(c\,p(x)\bigr)' =c\,p'(x) =c\,D\bigl(p(x)\bigr).

Resposta

A aplicação D é linear.

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