Seja
dada por
(a) Determine
.
(b) Determine
.
(c) Calcule
e
.
(b) Determine
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede (a) o núcleo de
, (b) a imagem de
e (c) as dimensões de núcleo e imagem. Vamos usar conceitos de sistema linear para núcleo e espaço gerado pelas colunas (coluna space) para a imagem, além do teorema da dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Para achar
Da segunda equação vem
. Portanto
Passo 3
Para a imagem, note que
ou seja,
Como
, bastam
e
, que são linearmente independentes em
. Logo
Passo 4
Pelo teorema da dimensão (rank–nullity) em
:
Já vimos que
é gerado por um vetor, então
. Como
, tem-se
, e de fato
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)