Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y, z)=(x+2 y+z, y-z) .
(a) Determine \operatorname{ker}(T).
(b) Determine \operatorname{Im}(T).
(c) Calcule \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T)) e \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T)).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=(x+2y+z,\;y-z),
e pede (a) o núcleo de T, (b) a imagem de T e (c) as dimensões de núcleo e imagem. Vamos usar conceitos de sistema linear para núcleo e espaço gerado pelas colunas (coluna space) para a imagem, além do teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para achar \ker(T)\), resolvemos o sistema \[\begin{cases} x+2y+z=0,\\\ y-z=0. \end{cases}
Da segunda equação vem z=y\]. Substituindo na primeira: \[x+2y+y=0\quad\Longrightarrow\quad x+3y=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3y.\] Logo todo vetor do núcleo é da forma \[(x,y,z)=(-3y,\;y,\;y)=y\,(-3,1,1),\] com \(y\in\mathbb{R}. Portanto
\ker(T)=\{\,y(-3,1,1)\mid y\in\mathbb{R}\}=\span\{(-3,1,1)\}.

Passo 3

Para a imagem, note que
T(x,y,z)=x\,(1,0)+y\,(2,1)+z\,(1,-1),
ou seja,
\Im(T)=\span\{(1,0),\,(2,1),\,(1,-1)\}.
Como (1,-1)=3(1,0)-(2,1), bastam (1,0) e (2,1), que são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Logo
\Im(T)=\span\{(1,0),(2,1)\}=\mathbb{R}^2.

Passo 4

Pelo teorema da dimensão (rank–nullity) em \mathbb{R}^3:
\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=3.
Já vimos que \ker T é gerado por um vetor, então \dim(\ker T)=1. Como \Im(T)=\mathbb{R}^2, tem-se \dim(\Im T)=2, e de fato 1+2=3.

Resposta

(a) \displaystyle \ker(T)=\{\,( -3t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\span\{(-3,1,1)\}.
(b) \displaystyle \Im(T)=\mathbb{R}^2.
(c) \displaystyle \dim(\ker T)=1,\quad \dim(\Im T)=2.

Exercícios relacionados