Dê exemplos de:
(b) Um operador linear em R^3 que satisfaça todas as condições abaixo:
i. T é diagonalizável;
ii. T não é injetora;
iii. T(v) neq v, para qualquer vetor não nulo;
iv. lambda=2 é autovalor de T;
v. v0=(1,0,-1) é autovetor de T;
vi. T(v0) neq v0;
vii. (0,0,2) in Im(T).

Passo 1

O enunciado pede um operador linear Tcolon R^3toR^3 que seja diagonalizável, não injetor, não tenha 1 como autovalor, tenha lambda=2 como autovalor com autovetor v0=(1,0,-1), e ainda faça com que (0,0,2) pertença à imagem de T. Vamos construir T escolhendo um sistema completo de autovetores com valores próprios adequados.

Passo 2

Para garantir que T não seja injetora, precisamos de 0 como autovalor. Como não podemos ter 1 como autovalor, escolhemos como conjunto de autovalores
,0,;2,;3,
sendo lambda=2 ligado ao autovetor dado v0=(1,0,-1) e lambda=3 um outro valor próprio qualquer diferente de 0,1,2.

Passo 3

Escolhemos então três vetores lineares independentes em R^3:
v0 = (1,0,-1), u = (1,0,1), w = (0,1,0)
Verificamos rapidamente que não há combinação linear não trivial entre eles, logo formam base de R^3.

Passo 4

Definimos T de forma a ser diagonal na base v0,u,w:
T(v0) = 2,v0, T(u) = 3,u, T(w) = 0,w = (0,0,0)
Assim T é diagonalizável (já temos a base de autovetores), não é injetora ( ker T=spanwneq0) e não possui 1 como autovalor.

Passo 5

Confirmamos que T(v)neq v para todo vneq0 porque os únicos autovalores são 0,2,3, nenhum igual a 1. Em particular, T(v0)=2v0neq v0, satisfazendo o item vi.

Passo 6

Mostramos que (0,0,2)inIm(T). Como Im(T)=spanv0,u, basta expressar
(0,0,2) = alpha,v0 + beta,u
Resolvendo
alpha(1,0,-1) + beta(1,0,1) = (0,0,2)
vem alpha+beta=0 e -alpha+beta=2. Daí alpha=-1, beta=1, e
(0,0,2) = -1cdot v0 + 1cdot u;in;Im(T)

Resposta

Um exemplo de T é o operador que, na base v0=(1,0,-1),,u=(1,0,1),,w=(0,1,0), tem matriz diagonal
D = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0
Em outras palavras,
T(v0)=2v0, T(u)=3u, T(w)=0,
cumprindo todos os itens de (i) a (vii).

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