Dê exemplos de:
(b) Um operador linear em
que satisfaça todas as condições abaixo:
i.
é diagonalizável;
ii.
não é injetora;
iii.
, para qualquer vetor não nulo;
iv.
é autovalor de
;
v.
é autovetor de
;
vi.
;
vii.
.
(b) Um operador linear em
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
que seja diagonalizável, não injetor, não tenha
como autovalor, tenha
como autovalor com autovetor
, e ainda faça com que
pertença à imagem de
. Vamos construir
escolhendo um sistema completo de autovetores com valores próprios adequados.
Passo 2
Para garantir que
não seja injetora, precisamos de
como autovalor. Como não podemos ter
como autovalor, escolhemos como conjunto de autovalores
sendo
ligado ao autovetor dado
e
um outro valor próprio qualquer diferente de
.
Passo 3
Escolhemos então três vetores lineares independentes em
:
Verificamos rapidamente que não há combinação linear não trivial entre eles, logo formam base de
.
Passo 4
Definimos
de forma a ser diagonal na base
:
Assim
é diagonalizável (já temos a base de autovetores), não é injetora (
) e não possui
como autovalor.
Passo 5
Confirmamos que
para todo
porque os únicos autovalores são
, nenhum igual a
. Em particular,
, satisfazendo o item vi.
Passo 6
Mostramos que
. Como
, basta expressar
Resolvendo
vem
e
. Daí
,
, e
Resposta
Um exemplo de
é o operador que, na base
, tem matriz diagonal
Em outras palavras,
cumprindo todos os itens de (i) a (vii).