Sejam e operadores lineares, onde e [S]C=[cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2], para determinadas bases B e C de V e W respectivamente. Procure observar neste exercício as seguintes propriedades:
(b) Se ao invés das matrizes acima, tivermos a sua transposta, os autovalores permaneceriam os mesmos.
Passo 1
O enunciado lembra que os autovalores de uma transformação linear são as raízes do polinômio característico da matriz que a representa em certa base. Aqui queremos ver o que acontece com esses autovalores se, em vez da matriz A, usarmos a sua transposta A^T.
Passo 2
Lembrando a definição de polinômio característico: para uma matriz Ain Mn(K), o polinômio característico é
chiA(lambda)=detl(A - lambda Inr),
e os autovalores de A são exatamente as raízes de chiA(lambda).
Passo 3
Usamos a propriedade básica do determinante de uma transposta: