Sejam T: V V e S: W W operadores lineares, onde [T]B=[ccc1 & 2 & 1 0 & 5 & 2 -1 & 3 & 2] e [S]C=[cccc1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2], para determinadas bases B e C de V e W respectivamente. Procure observar neste exercício as seguintes propriedades:
(b) Se ao invés das matrizes acima, tivermos a sua transposta, os autovalores permaneceriam os mesmos.

Passo 1

O enunciado lembra que os autovalores de uma transformação linear são as raízes do polinômio característico da matriz que a representa em certa base. Aqui queremos ver o que acontece com esses autovalores se, em vez da matriz A, usarmos a sua transposta A^T.

Passo 2

Lembrando a definição de polinômio característico: para uma matriz Ain Mn(K), o polinômio característico é
chiA(lambda)=detl(A - lambda Inr),
e os autovalores de A são exatamente as raízes de chiA(lambda).

Passo 3

Usamos a propriedade básica do determinante de uma transposta:
detl(A^Tr)=det(A)
Daí
detl(A^T - lambda Inr) =detl((A-lambda In)^Tr) =detl(A-lambda Inr),
ou seja,
chiA^T(lambda) =chiA(lambda)

Passo 4

Como o polinômio característico de A^T é exatamente igual ao de A, as raízes coincidem. Logo, A e A^T têm o mesmo conjunto de autovalores.

Resposta

Sim. A transposta de uma matriz mantém os mesmos autovalores, pois seu polinômio característico é o mesmo.

Exercícios relacionados