O Teorema de Cayley-Hamilton afirma que uma matriz quadrada
é uma raíz de seu polinômio característico, isto é, se
é o polinômio característico de
então
0 (matriz nula).
(b) Este teorema proporciona um método para calcular a inversa e potências
de uma matriz, tendo conhecimento de potências inferiores. Verifique que isto é verdade tomando por exemplo uma matriz
com polinômio característico
.
(b) Este teorema proporciona um método para calcular a inversa e potências
Passo 1
O conteúdo aqui é o Teorema de Cayley–Hamilton aplicado a uma matriz
. O enunciado pede para mostrar que, se a matriz
tem polinômio característico
então podemos expressar qualquer potência
(com
) e também
em função apenas de
e
, usando potências inferiores.
Passo 2
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton,
satisfaz
Passo 3
Da equação acima isolamos
:
Passo 4
Para potências superiores, basta multiplicar a relação de Cayley–Hamilton por
(
):
e daí obter a relação de recorrência
Isto mostra que, conhecendo
e
, todas as potências
ficam determinadas.
Passo 5
Se
for inversível, então necessariamente
(no caso
,
). Para obter
, multiplicamos a identidade de Cayley–Hamilton por
:
Resposta
Daí concluímos: