O Teorema de Cayley-Hamilton afirma que uma matriz quadrada A é uma raíz de seu polinômio característico, isto é, se p(x)=a0+a1 x+ldots+an x^n é o polinômio característico de A então a0 I+a1 A=a2 A^2+ldots+an A^n= 0 (matriz nula).
(b) Este teorema proporciona um método para calcular a inversa e potências n de uma matriz, tendo conhecimento de potências inferiores. Verifique que isto é verdade tomando por exemplo uma matriz 2 times 2 com polinômio característico c0+c1 x+c2 x^2.

Passo 1

O conteúdo aqui é o Teorema de Cayley–Hamilton aplicado a uma matriz 2times2. O enunciado pede para mostrar que, se a matriz A tem polinômio característico
p(x)=c0+c1x+c2x^2,
então podemos expressar qualquer potência A^n (com n>=2) e também A^-1 em função apenas de I e A, usando potências inferiores.

Passo 2

Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, A satisfaz
c0I + c1A + c2A^2 ;=;0

Passo 3

Da equação acima isolamos A^2:
c2A^2 = -,c1A - c0I Longrightarrow A^2 = -c1c2,A ;-;c0c2,I

Passo 4

Para potências superiores, basta multiplicar a relação de Cayley–Hamilton por A^n-2 ( n>=2):
c0A^n-2 + c1A^n-1 + c2A^n = 0
e daí obter a relação de recorrência
A^n = -c1c2,A^n-1 ;-;c0c2,A^n-2
Isto mostra que, conhecendo A^0=I e A^1=A, todas as potências A^n ficam determinadas.

Passo 5

Se A for inversível, então necessariamente c0neq0 (no caso 2times2, c0=det(A)). Para obter A^-1, multiplicamos a identidade de Cayley–Hamilton por A^-1:
c0A^-1 + c1I + c2A = 0 Longrightarrow A^-1 = -c1c0,I ;-;c2c0,A

Resposta

Daí concluímos:
A^2 = -c1c2,A ;-;c0c2,I,
A^n = -c1c2,A^n-1 ;-;c0c2,A^n-2 (forall n>=2),
A^-1 = -c1c0,I ;-;c2c0,A

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