Dê exemplos de um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{3} :
Que tenha dimensão 1 , dando uma base e equações.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de subespaços vetoriais de \mathbb{R}^3 com dimensão 1, fornecendo uma base e as equações lineares que os definem. O conteúdo envolve entender que subespaços de dimensão 1 em \mathbb{R}^3 são retas que passam pela origem.

Passo 2

Primeiro exemplo: o eixo x. Definimos
U = \{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Como U é gerado por todos os múltiplos de (1,0,0), uma base é
\{(1,0,0)\}.

Passo 3

Para descrever U como interseção de planos, basta impor que as coordenadas y e z sejam zero:
y = 0, \quad z = 0.

Passo 4

Segundo exemplo: a reta gerada por (1,2,3). Definimos
V = \{t\,(1,2,3)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Como V é o múltiplo escalar de (1,2,3), uma base é
\{(1,2,3)\}.

Passo 5

Para descrever V por equações lineares, notamos que em (x,y,z)\in V deve valer y=2x e z=3x, o que equivale a
2x - y = 0, \quad 3x - z = 0.

Resposta

Exemplo 1: base \{(1,0,0)\}, equações y=0 e z=0.\nExemplo 2: base \{(1,2,3)\}, equações 2x - y = 0 e 3x - z = 0.

Exercícios relacionados