Dê exemplos de duas séries sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn tais que:
ambas as séries divergem mas converge.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos duas séries infinitas sum an e sum bn que, individualmente, são divergentes, mas cuja série termo a termo sum (an + bn) seja convergente. Isso envolve o conteúdo de séries numéricas e testes de convergência/divergência.

Passo 2

Escolhemos an = 1 para todo n. Então sumn=1^inftyan = sumn=1^infty1 é uma série harmônica degrau, cujos termos não tendem a zero, logo diverge por não satisfazer o teste do termo geral.

Passo 3

Definimos bn = -1 + tfrac12^n. Observamos que limntoinftybn = -1 neq 0, de modo que a série sumn=1^inftybn também diverge, pois o termo geral não tende a zero.

Passo 4

Agora somamos termo a termo: an + bn = 1 + l(-1 + tfrac12^nr) = tfrac12^n A série resultante é
sumn=1^infty(an + bn) = sumn=1^infty12^n, que é uma série geométrica com razão 1/2 (menor que 1), portanto converge.

Resposta

Um exemplo é
an=1 e
bn=-1+2^-n. As séries sum an e sum bn divergem, mas sum(an+bn)=sum2^-n converge.

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