Partindo de
e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada de
a partir da relação de funções inversas. Aqui o conteúdo é a derivação de funções inversas, e vamos precisar do resultado geral: se
é invertível e
, então
e podemos usar diferenciação implícita.
Passo 2
Definimos
e
. Como
, diferenciando ambos os lados em relação a
usando a regra da cadeia temos
Passo 3
Isolando
obtemos
Passo 4
Sabemos que
. Logo
Passo 5
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica
. Como
implica
, segue
Passo 6
Substituindo de volta, concluímos que