Partindo de f circ f^-1(x)=x e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
dd x arctan x=11+x^2

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada de arctan x a partir da relação de funções inversas. Aqui o conteúdo é a derivação de funções inversas, e vamos precisar do resultado geral: se f é invertível e g=f^-1, então f(g(x))=x e podemos usar diferenciação implícita.

Passo 2

Definimos f(x)=tan x e g(x)=arctan x. Como f(g(x))=x, diferenciando ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia temos
f'(g(x))cdot g'(x)=1

Passo 3

Isolando g'(x) obtemos
g'(x)=1f'(g(x))

Passo 4

Sabemos que f'(x)=sec^2 x. Logo
g'(x)=1sec^2(arctan x)

Passo 5

Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica sec^2theta=1+tan^2theta. Como theta=arctan x implica tantheta=x, segue
sec^2(arctan x)=1+tan^2(arctan x)=1+x^2

Passo 6

Substituindo de volta, concluímos que
ddxarctan x=11+x^2

Resposta

dfracddxarctan x=dfrac11+x^2

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