A função
tem transformada de Laplace? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre verificar se a função
tem transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e quais são as condições para que ela exista.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo (t) para o domínio da frequência (s). A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Para que a transformada exista, a integral acima precisa convergir, ou seja, ter um valor finito.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Observamos que ela envolve
, que é uma função exponencial com crescimento muito rápido à medida que t aumenta. Além disso, o cosseno de
oscila entre -1 e 1, mas não diminui a taxa de crescimento da função.
Passo 4
Para a transformada de Laplace existir, precisamos que
não cresça mais rápido que uma função exponencial
para algum
. No caso de
, o termo
cresce mais rapidamente que qualquer função exponencial
, já que
cresce mais rápido que
.
Passo 5
Devido ao crescimento rápido de
, a integral da transformada de Laplace:
não converge, pois
cresce sem limites para
tendendo ao infinito.
Resposta
A função
não possui transformada de Laplace, pois o crescimento de
faz com que a integral da transformada não convirja.