S-4.2 Mostre que, para todo
,
35 divide
.
35 divide
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, temos
O conteúdo principal é divisibilidade em números inteiros, usando a fatoração de diferença de potências: para quaisquer inteiros
e
,
logo
divide
.
Passo 2
Escrevemos
Aplicando a fatoração de diferença de potências com
e
, concluímos que
ou seja,
Passo 3
Calculamos
Fatorando
665 , temos
portanto
divide
665 .
Passo 4
Como
35mid 665 e
665mid (3^6n-2^6n) , segue-se por transitividade da divisibilidade que
para todo
ninN .