S-4.2 Mostre que, para todo n in N,
35 divide 3^6 n-2^6 n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, temos
35mid l(3^6n-2^6nr)
O conteúdo principal é divisibilidade em números inteiros, usando a fatoração de diferença de potências: para quaisquer inteiros a,b e n>=1,
a^n - b^n = (a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r),
logo a-b divide a^n-b^n.

Passo 2

Escrevemos
3^6n-2^6n = l(3^6r)^n - l(2^6r)^n
Aplicando a fatoração de diferença de potências com a=3^6 e b=2^6, concluímos que
3^6 - 2^6 ;m|; (3^6)^n - (2^6)^n,
ou seja,
665 mid l(3^6n-2^6nr)

Passo 3

Calculamos
3^6 = 729, 2^6 = 64, 3^6 - 2^6 = 729 - 64 = 665
Fatorando 665, temos
665 = 5 times 7 times 19,
portanto
35 = 5 times 7
divide 665.

Passo 4

Como 35mid 665 e 665mid (3^6n-2^6n), segue-se por transitividade da divisibilidade que
35 mid l(3^6n-2^6nr)
para todo ninN.

Resposta

35midl(3^6n-2^6nr)

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