Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(j) T: M2 P1 tal que T([lla & b c & d])=a+d t.

Passo 1

O enunciado descreve a aplicação
Tcolon M2to P1, Tl(a & b c & dr)=a+d,t
Para ser uma transformação linear, T deve satisfazer
  1. T(A+B)=T(A)+T(B) para todo A,Bin M2,
  2. T(lambda A)=lambda,T(A) para todo lambdainR e todo Ain M2.

Passo 2

Testando a additividade, seja
A=a & b c & d, B=a' & b' c' & d'
Então
A+B=a+a' & b+b' c+c' & d+d'
e
T(A+B)=(a+a')+(d+d'),t =(a+d,t)+(a'+d',t) = T(A)+T(B)

Passo 3

Testando a homogeneidade, para lambdainR,
lambda A =lambda a & lambda b lambda c & lambda d,
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T(lambda A) =lambda a + (lambda d),t =lambdal(a+d,tr) =lambda,T(A)

Resposta

A aplicação T é uma transformação linear.

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