Dê exemplos de:
(a) Um operador linear em que não possui autovalores reais.
(b) Um operador linear em que satisfaça todas as condições a seguir:
(i) é diagonalizável;
(ii) não é injetora;
(iii) , para qualquer vetor não nulo;
(iv) é autovalor de ;
(v) é autovetor de ;
(vi) ;
(vii) .
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de operadores lineares, um em sem autovalores reais e outro em que seja diagonalizável, não injetor, não tenha vetores fixos além do zero, tenha como autovalor com autovetor , satisfaça e ainda faça pertencer à imagem de . Vamos escolher matrizes concretas na base canônica que cumprem esses requisitos.
Passo 2
Para (a), um exemplo clássico é a rotação de em :
Em matriz na base canônica:
O polinômio característico é lambda^2+1=0, que não tem raízes reais, logo não há autovalores reais.
Passo 3
Para (b), escolhemos três autovalores distintos 2,3,0, garantindo diagonalizabilidade e a não injetividade (autovalor zero). Definimos os autovetores:
Verificação das condições para A:
(i) tem três autovalores distintos Rightarrow é diagonalizável.
(ii) lambda=0 Rightarrow ker Tneq0, não é injetora.
(iii) nenhum autovalor é 1 Rightarrow não há vneq0 com T(v)=v.
(iv) lambda=2 aparece em D.
(v) v0=(1,0,-1) é autovetor associado a 2.
(vi) T(v0)=2v0neq v0.
(vii) basta notar que