Dê exemplos de:
(a) Um operador linear em R^2 que não possui autovalores reais.
(b) Um operador linear em R^3 que satisfaça todas as condições a seguir:
(i) T é diagonalizável;
(ii) T não é injetora;
(iii) T(v) neq v, para qualquer vetor não nulo;
(iv) lambda=2 é autovalor de T;
(v) v0=(1,0,-1) é autovetor de T;
(vi) T(v0) neq v0;
(vii) (0,0,2) in Im(T).

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de operadores lineares, um em R^2 sem autovalores reais e outro em R^3 que seja diagonalizável, não injetor, não tenha vetores fixos além do zero, tenha lambda=2 como autovalor com autovetor v0=(1,0,-1), satisfaça T(v0)neq v0 e ainda faça (0,0,2) pertencer à imagem de T. Vamos escolher matrizes concretas na base canônica que cumprem esses requisitos.

Passo 2

Para (a), um exemplo clássico é a rotação de 90^circ em R^2:
T(x,y)=(-y,;x)
Em matriz na base canônica:
0 & -1 1 & -0
O polinômio característico é lambda^2+1=0, que não tem raízes reais, logo não há autovalores reais.

Passo 3

Para (b), escolhemos três autovalores distintos 2,3,0, garantindo diagonalizabilidade e a não injetividade (autovalor zero). Definimos os autovetores:
v1=v0=(1,0,-1)(lambda1=2), v2=(0,0,1)(lambda2=3), v3=(1,1,1)(lambda3=0)
Eles são linearmente independentes, pois o determinante da matriz P=[v1;v2;v3] é não nulo. Se D=diag(2,3,0), então
A = P,D,P^-1 = 2 & -2 & 0[4pt]0 & 0 & 0[4pt]1 & -4 & 3
é a matriz de T na base canônica.]

Passo 4

Verificação das condições para A:
(i) tem três autovalores distintos Rightarrow é diagonalizável.
(ii) lambda=0 Rightarrow ker Tneq0, não é injetora.
(iii) nenhum autovalor é 1 Rightarrow não há vneq0 com T(v)=v.
(iv) lambda=2 aparece em D.
(v) v0=(1,0,-1) é autovetor associado a 2.
(vi) T(v0)=2v0neq v0.
(vii) basta notar que
Tl(0,0,tfrac23r) =l(0,0,3cdottfrac23r) =(0,0,2),
logo (0,0,2)inIm(T).

Resposta

(a) T(x,y)=(-y,x) com matriz
0 & -1 1 & 0
(b) T:R^3toR^3 com matriz
2 & -2 & 0 0 & 0 & 0 1 & -4 & 3
na base canônica.

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