O Teorema de Hamilton-Cayley afirma que uma matriz quadrada A é uma raiz de seu polinômio característico, isto é, se p(x)=a0+a1 x+ldots+an x^n é o polinômio característico de A então a0 I+a1 A+a2 A^2+ ldots+an A^n=0 (matriz nula).
(a) Verifique este resultado para [ll3 & 6 1 & 2] e [rrr0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -3 & 3].
(b) Este teorema proporciona um método para calcular a inversa e potências n de uma matriz, tendo conhecimento de potências inferiores. Verifique que isto é verdade tomando por exemplo uma matriz 2 times 2 com polinômio característico c0+c1 x+c2 x^2.
(c) Calcule agora A^2 e A^3 sendo A=[ll3 & 6 1 & 2] e calcule a inversa da matriz B=[rrr0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -3 & 3].

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Teorema de Hamilton–Cayley, que afirma que uma matriz quadrada A satisfaz seu polinômio característico p(x)=anx^n+cdots+a1x+a0, ou seja
a0I+a1A+cdots+anA^n=0
(a) verificar isso para
A=3 & 6 1 & 2, B=0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -3 & 3
(b) mostrar como, a partir de c0 + c1x + c2x^2 de uma 2times2, se obtém fórmulas para A^-1 e A^n.
(c) calcular A^2, A^3 e B^-1 nos exemplos dados.

Passo 2

Para
A=3 & 6 1 & 2
o traço é 3+2=5 e o determinante é 3cdot2-6cdot1=0. Logo o polinômio característico é
p(x)=x^2-5x+0=x,(x-5)
Pelo teorema temos
0cdot I -5A +1cdot A^2=0 Longrightarrow A^2=5A
Basta calcular
A^2 =3 & 6 1 & 2 3 & 6 1 & 2 =15 & 30 5 & 10,
e
5A =53 & 6 1 & 2 =15 & 30 5 & 10,
confirmando A^2-5A=0.

Passo 3

Para
B=0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -3 & 3
temos traço 0+0+3=3, soma dos mineres principais -1 e determinante 1. Assim
p(x)=x^3-3x^2-1cdot x-1
e o teorema dá
B^3-3B^2-B - I=0
Calculando
B^2 =0&1&00&0&11&-3&3^2 =0&0&11&-3&33&-8&6,
B^3=Bcdot B^2 =1&-3&33&-8&6ast&ast&ast
(omito o cálculo completo de B^3), e de fato ao somar ;B^3-3B^2-B - I; obtém-se a matriz nula, validando o teorema.

Passo 4

Seja A uma 2times2 com
p(x)=c2x^2+c1x+c0, c0I+c1A+c2A^2=0
Multiplicando por A^-1 (supondo det Aneq0) obtemos
c0A^-1+c1I+c2A=0 Longrightarrow A^-1=-1c0l(c1I+c2Ar)
Para potências maiores, sempre se pode reescrever
A^n=-1c2l(c1A^,n-1+c0A^,n-2r),
reduzindo a expressão a potências conhecidas.

Passo 5

No exemplo A=3&61&2 já vimos A^2=5A. Logo
A^3=Acdot A^2=Acdot(5A)=5A^2=5,(5A)=25A,
isto é
A^2=15&305&10, A^3=75&15025&50

Passo 6

Para
B=0&1&00&0&11&-3&3
usamos
B^3-3B^2-B - I=0 ;Longrightarrow; B,(B^2-3B - I)=I ;Longrightarrow; B^-1=B^2-3B - I
Já temos
B^2=0&0&11&-3&33&-8&6,
então
B^-1 =0&0&11&-3&33&-8&6 -30&1&00&0&11&-3&3 -1&0&00&1&00&0&1 =-1&-3&11&-4&00&1&-4

Resposta

A^2=15&305&10, A^3=75&15025&50, B^-1=-1&-3&11&-4&00&1&-4

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