Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se T(v)=lambda v para algum escalar não-nulo lambda, então v é autovetor de T.
(b) Se lambda é um autovalor de T,([T]B-lambda I) X=0 só tem a solução trivial.
(c) Se v1, v2 e v3 são vetores de autoespaços distintos, então é impossível escrever v3 como combinação linear de v1 e v2.

Passo 1

O enunciado trata de transformação linear Tcolon Vto V, autovalores, autovetores (definidos como vetores vneq0 tais que T(v)=lambda v) e autoespaços (conjuntos de todos os autovetores de um mesmo autovalor, mais o vetor zero). Vamos usar essas definições para analisar cada afirmação.

Passo 2

(a) Diz que se T(v)=lambda v para algum escalar não-nulo lambda, então v é autovetor. Como T(0)=0=lambdacdot0 vale para qualquer lambda, a condição T(v)=lambda v com lambdaneq0 pode ser satisfeita por v=0, mas o vetor zero não entra na definição de autovetor. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) Diz que, se lambda é autovalor de T, então o sistema
l([T]B-lambda Ir)X=0
só tem solução trivial. Pelo contrário, lambda ser autovalor significa exatamente que det([T]B-lambda I)=0, ou seja, a matriz é singular e o sistema homogêneo admite soluções não-triviais. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) Se v1,v2,v3 pertencem a autoespaços de três autovalores distintos, então v1,v2,v3 são autovetores de autovalores diferentes e, por um teorema clássico, autovetores associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes. Assim, não é possível escrever v3 como combinação linear de v1 e v2. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira

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