Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se
para algum escalar não-nulo
, então
é autovetor de
.
(b) Se
é um autovalor de
só tem a solução trivial.
(c) Se
e
são vetores de autoespaços distintos, então é impossível escrever
como combinação linear de
e
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado trata de transformação linear
, autovalores, autovetores (definidos como vetores
tais que
) e autoespaços (conjuntos de todos os autovetores de um mesmo autovalor, mais o vetor zero). Vamos usar essas definições para analisar cada afirmação.
Passo 2
(a) Diz que se
para algum escalar não-nulo
, então
é autovetor. Como
vale para qualquer
, a condição
com
pode ser satisfeita por
, mas o vetor zero não entra na definição de autovetor. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) Diz que, se
é autovalor de
, então o sistema
só tem solução trivial. Pelo contrário,
ser autovalor significa exatamente que
, ou seja, a matriz é singular e o sistema homogêneo admite soluções não-triviais. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 4
(c) Se
pertencem a autoespaços de três autovalores distintos, então
são autovetores de autovalores diferentes e, por um teorema clássico, autovetores associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes. Assim, não é possível escrever
como combinação linear de
e
. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira