Nos exemplos seguintes, verificar que se as familias dadas são base ortogonal do espaço E :
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) com E=R^3 munido do produto usual

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a família (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) é base ortogonal de R^3 com o produto interno usual. Vamos usar os conceitos de produto interno em R^3, ortogonalidade e base de um espaço vetorial.

Passo 2

O produto interno usual em R^3 é dado por lang<= u,vrang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3. Calculamos as projeções entre vetores distintos:
lang<=(1,0,0),(0,1,0)rang<= = 1cdot0 + 0cdot1 + 0cdot0 = 0,
lang<=(1,0,0),(0,0,1)rang<= = 1cdot0 + 0cdot0 + 0cdot1 = 0,
lang<=(0,1,0),(0,0,1)rang<= = 0cdot0 + 1cdot0 + 0cdot1 = 0
Como todos os produtos internos entre vetores distintos são zero, eles são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Para ser base de R^3, a família precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço. Note que cada vetor é não-nulo e que são 3 vetores em um espaço de dimensão 3. Se fizermos a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(0,0,0), obtemos o sistema
a=0, b=0, c=0
Logo, eles são linearmente independentes e, por serem 3 vetores em R^3, também geram todo o espaço. Portanto formam uma base.

Passo 4

Como a família é ortogonal (passo 2) e é uma base (passo 3), concluímos que é de fato uma base ortogonal de R^3.

Resposta

A família (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) é uma base ortogonal de R^3 com o produto interno usual.

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