Nos exemplos seguintes, verificar que se as familias dadas são base ortogonal do espaço
:
com
munido do produto usual
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a família
é base ortogonal de
com o produto interno usual. Vamos usar os conceitos de produto interno em
, ortogonalidade e base de um espaço vetorial.
Passo 2
O produto interno usual em
é dado por
. Calculamos as projeções entre vetores distintos:
Como todos os produtos internos entre vetores distintos são zero, eles são mutuamente ortogonais.
Passo 3
Para ser base de
, a família precisa ser linearmente independente e gerar todo o espaço. Note que cada vetor é não-nulo e que são 3 vetores em um espaço de dimensão 3. Se fizermos
, obtemos o sistema
Logo, eles são linearmente independentes e, por serem 3 vetores em
Passo 4
Como a família é ortogonal (passo 2) e é uma base (passo 3), concluímos que é de fato uma base ortogonal de
.
Resposta
A família
é uma base ortogonal de
com o produto interno usual.