Verificar se as funções abaixo definem um produto interno no espaco vetorial E indicado :
lang<= P, Qrang<==P(0) Q(0)+P(1) Q(1)+P(2) Q(2) em R2[X]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= P,Qrang<= = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(2)Q(2)
em E= R2[X] satisfaz as três propriedades de um produto interno: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida.

Passo 2

Primeiro checamos a simetria: usando a comutatividade do produto em R, para quaisquer P,Qin E temos
lang<= P,Qrang<= = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(2)Q(2) = Q(0)P(0) + Q(1)P(1) + Q(2)P(2) = lang<= Q,Prang<=

Passo 3

Agora verificamos a linearidade no primeiro argumento. Dados P,R,Qin E e escalar a,bin R, como avaliação de polinômio é linear, vale para cada x=0,1,2
(aP+bR)(x) = aP(x) + bR(x)
Logo
lang<= aP+bR, Qrang<= = sumx=0^2 (aP(x)+bR(x)),Q(x) = asumx=0^2 P(x)Q(x) + bsumx=0^2 R(x)Q(x) = alang<= P,Qrang<= + blang<= R,Qrang<=

Passo 4

Por fim, checamos a positividade definida. Para qualquer Pin E,
lang<= P,Prang<= = P(0)^2 + P(1)^2 + P(2)^2 >= 0
Se lang<= P,Prang<= = 0, então P(0)=P(1)=P(2)=0. Mas um polinômio de grau <=2 com três raízes distintas é o polinômio nulo, logo Pequiv0.

Passo 5

Como simetria, linearidade e positividade definida estão satisfeitas, a aplicação é de fato um produto interno em R2[X].

Resposta

Sim, lang<= P,Qrang<==P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2) define um produto interno em R2[X].

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