Verificar se as funções abaixo definem um produto interno no espaco vetorial
indicado :
em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
satisfaz as três propriedades de um produto interno: simetria, linearidade no primeiro argumento e positividade definida.
Passo 2
Primeiro checamos a simetria: usando a comutatividade do produto em
, para quaisquer
temos
Passo 3
Agora verificamos a linearidade no primeiro argumento. Dados
e escalar
, como avaliação de polinômio é linear, vale para cada
Logo
Passo 4
Por fim, checamos a positividade definida. Para qualquer
,
Se
, então
. Mas um polinômio de grau
com três raízes distintas é o polinômio nulo, logo
.
Passo 5
Como simetria, linearidade e positividade definida estão satisfeitas, a aplicação é de fato um produto interno em
.
Resposta
Sim,
define um produto interno em
.