Verificar se as funções abaixo definem um produto interno no espaco vetorial E indicado :
lang<= f, grang<==integrala^b f(x) d x+integrala^b g(x) d x em C^0([a, b])

Passo 1

Resumo do enunciado: Estamos com o espaço vetorial E=C^0([a,b]) das funções contínuas em [a,b] e a forma bilinear dada por lang<= f, grang<==integrala^b f(x),dx + integrala^b g(x),dx. Para checar se isso é um produto interno, precisamos verificar três axiomas: simetria, linearidade em cada argumento e positividade definida.

Passo 2

Verificação da simetria: Observamos que
lang<= f, grang<==integrala^b f(x),dx + integrala^b g(x),dx = integrala^b g(x),dx + integrala^b f(x),dx = lang<= g, frang<=
o que mostra que a simetria está satisfeita.

Passo 3

Verificação da linearidade: Testamos a aditividade no segundo argumento. Para g1,g2in E temos
lang<= f,g1+g2rang<==integrala^b f(x),dx + integrala^b [g1(x)+g2(x)],dx = integrala^b f(x),dx + integrala^b g1(x),dx + integrala^b g2(x),dx,
porém
lang<= f,g1rang<= + lang<= f,g2rang<= = (integrala^b f +integrala^b g1) + (integrala^b f +integrala^b g2) = 2integrala^b f(x),dx + integrala^b g1(x),dx + integrala^b g2(x),dx
Como não coincidem, a forma não é linear.

Passo 4

Verificação da positividade definida: Para fin E temos
lang<= f,frang<= = integrala^b f(x),dx + integrala^b f(x),dx = 2integrala^b f(x),dx
Essa expressão pode ser zero mesmo quando f não é a função zero (e pode ser negativa para funções de integral negativa), então falha a positividade definida.

Resposta

A forma dada não define um produto interno em C^0([a,b]).

Exercícios relacionados