Verificar se as funções abaixo definem um produto interno no espaco vetorial
indicado :
em
Passo 1
Resumo do enunciado: Estamos com o espaço vetorial
das funções contínuas em
e a forma bilinear dada por
. Para checar se isso é um produto interno, precisamos verificar três axiomas: simetria, linearidade em cada argumento e positividade definida.
Passo 2
Verificação da simetria: Observamos que
o que mostra que a simetria está satisfeita.
Passo 3
Verificação da linearidade: Testamos a aditividade no segundo argumento. Para
temos
porém
Como não coincidem, a forma não é linear.
Passo 4
Verificação da positividade definida: Para
temos
Essa expressão pode ser zero mesmo quando
não é a função zero (e pode ser negativa para funções de integral negativa), então falha a positividade definida.
Resposta
A forma dada não define um produto interno em
.