Dê exemplos de sequências x_{n} \longrightarrow+\infty e y_{n} \longrightarrow+\infty tal que \lim \frac{x_{n}}{y_{n}} converge, tende a infinito, e não existe.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê exemplos de duas sequências (x_n) e (y_n) tais que (x_n)\to +\infty e (y_n)\to +\infty e, dependendo do exemplo, a sequência dos quocientes \frac{x_n}{y_n} (1) converge (tem limite finito), (2) tende a +\infty, e (3) não tem limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Queremos pares (x_n),(y_n) com \lim_{n\to\infty} x_n=+\infty e \lim_{n\to\infty} y_n=+\infty.
  • Para cada par, devemos analisar \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} e obter os três tipos de comportamento mencionados.

Passo 2

Exemplo em que \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} converge (valor finito): escolha
x_n = n,\qquad y_n = n.
Vamos verificar as propriedades pedidas.
  1. Mostrar que \lim_{n\to\infty} x_n = +\infty. Por definição, isso significa: para todo M>0 existe N tal que, para todo n\ge N, x_n>M. Aqui x_n=n. Dado M>0, tome N=\lfloor M\rfloor+1. Se n\ge N então n\ge N>\!M, logo x_n=n>M. Portanto x_n\to+\infty.
  2. Mostrar que \lim_{n\to\infty} y_n = +\infty. A mesma demonstração vale para y_n=n.
  3. Calcular \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}. Para todo n temos
\frac{x_n}{y_n}=\frac{n}{n}=1.
Logo a sequência dos quocientes é a sequência constante 1, cujo limite é 1. Portanto obtemos um exemplo onde o limite converge e vale 1.

Passo 3

Exemplo em que \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=+\infty: escolha
x_n = n^2,\qquad y_n = n.
Verificações:
  1. \lim_{n\to\infty} x_n = +\infty. Dado M>0, tome N=\lfloor\sqrt{M}\rfloor+1. Se n\ge N então n^2\ge N^2>\!M, logo x_n=n^2>M. Assim x_n\to+\infty.
  2. \lim_{n\to\infty} y_n = +\infty. Já sabemos que y_n=n\to+\infty (como no Passo 2).
  3. Calcular \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}. Para todo n\neq 0,
\frac{x_n}{y_n}=\frac{n^2}{n}=n.
A sequência n tende a +\infty, isto é, para qualquer M>0 basta escolher N=\lceil M\rceil para que n\ge N implique n>M. Portanto \frac{x_n}{y_n}\to +\infty. Assim temos um exemplo em que o quociente diverge para +\infty.

Passo 4

Exemplo em que \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}\) não existe: escolha \[x_n = \begin{cases} n, & \text{se \(n é par},\[4pt] 2n, & se [n) é ímpar,\end{cases} \qquad y_n = n.]
Verificações:
  1. Mostrar que x_n\to+\infty. Note que, para todo n, x_n\ge n. Portanto, dado M>0, tomando N=\lfloor M\rfloor+1, para n\ge N temos x_n\ge n\ge N> M. Assim x_n\to+\infty.
  2. Mostrar que y_n\to+\infty segue como antes ( y_n=n).
  3. Analisar \frac{x_n}{y_n}. Para todo n,
\frac{x_n}{y_n} = \begin{cases} 1, & \text{se \(n é par},\[4pt] 2, & se n é ímpar.\end{cases}]
Portanto a sequência dos quocientes alterna entre 1 e 2. Para mostrar que o limite não existe, basta observar que as duas subsequências definidas por índices pares e índices ímpares têm limites diferentes:
\lim_{k\to\infty}\frac{x_{2k}}{y_{2k}}=1,\qquad \lim_{k\to\infty}\frac{x_{2k+1}}{y_{2k+1}}=2.
Como dois subsequências convergem para valores distintos, a sequência inteira não tem limite. Assim este par dá um caso em que \frac{x_n}{y_n} não converge.]

Passo 5

Resumo didático e dica prática para a prova: para construir exemplos com (x_n)\to+\infty e (y_n)\to+\infty pense em escolhas simples como potências de n ou n vezes um fator oscilante. Para forçar que \frac{x_n}{y_n} convirja, faça x_n e y_n proporcionais (por exemplo x_n=cn, y_n=n dá limite c). Para forçar divergência do quociente para +\infty, faça x_n crescer mais rápido (por exemplo x_n=n^2, y_n=n). Para forçar não existência, faça o numerador ter fatores que alternam (ou dois subsequências com limites diferentes), mantendo ambos \to +\infty.

Resposta

(x_n,n) com x_n=n e y_n=n \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=1.
(x_n,n) com x_n=n^2 e y_n=n \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=+\infty.
(x_n,n) com x_n=n se n é par e x_n=2n se n é ímpar, e y_n=n \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} não existe.

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