Dê exemplos de sequências
e
tal que
converge, tende a infinito, e não existe.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê exemplos de duas sequências
e
tais que
e
e, dependendo do exemplo, a sequência dos quocientes
(1) converge (tem limite finito), (2) tende a
, e (3) não tem limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Queremos pares
com e . - Para cada par, devemos analisar
e obter os três tipos de comportamento mencionados.
Passo 2
Exemplo em que
converge (valor finito): escolha
Vamos verificar as propriedades pedidas.
-
Mostrar que
. Por definição, isso significa: para todo existe tal que, para todo , . Aqui . Dado , tome . Se então , logo . Portanto . -
Mostrar que
. A mesma demonstração vale para . -
Calcular
. Para todo temos
Logo a sequência dos quocientes é a sequência constante
, cujo limite é
. Portanto obtemos um exemplo onde o limite converge e vale
.
Passo 3
Exemplo em que
: escolha
Verificações:
-
. Dado , tome . Se então , logo . Assim . -
. Já sabemos que (como no Passo 2). -
Calcular
. Para todo ,
A sequência
tende a
, isto é, para qualquer
basta escolher
para que
implique
. Portanto
. Assim temos um exemplo em que o quociente diverge para
.
Passo 4
Exemplo em que
é par},\[4pt] 2n, & se [n) é ímpar,\end{cases} \qquad y_n = n.]
Verificações:
-
Mostrar que
. Note que, para todo , . Portanto, dado , tomando , para temos . Assim . -
Mostrar que
segue como antes ( ). -
Analisar
. Para todo ,
é par},\[4pt] 2, & se
é ímpar.\end{cases}]
Portanto a sequência dos quocientes alterna entre
e
. Para mostrar que o limite não existe, basta observar que as duas subsequências definidas por índices pares e índices ímpares têm limites diferentes:
Como dois subsequências convergem para valores distintos, a sequência inteira não tem limite. Assim este par dá um caso em que
não converge.]
Passo 5
Resumo didático e dica prática para a prova: para construir exemplos com
e
pense em escolhas simples como potências de
ou
vezes um fator oscilante. Para forçar que
convirja, faça
e
proporcionais (por exemplo
,
dá limite
). Para forçar divergência do quociente para
, faça
crescer mais rápido (por exemplo
,
). Para forçar não existência, faça o numerador ter fatores que alternam (ou dois subsequências com limites diferentes), mantendo ambos
.