Dê exemplos de:
Um subespaço vetorial de F=\{ funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}\}\} e de um vetor desse espaço.ç

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos um exemplo de subespaço vetorial de
F = \{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}
e também um exemplo de vetor (função) que pertença a esse subespaço. O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} e subespaços: para mostrar que um subconjunto é subespaço, precisamos verificar que ele não é vazio, e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos escolher como subespaço o conjunto
S = \bigl\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid \exists\,a\in\mathbb{R}\text{ tal que }f(x)=a\,x\text{ para todo }x\in\mathbb{R}\bigr\}.
  1. S não é vazio, pois a função f_0(x)=0\cdot x=0 pertence a S.
  2. Se f(x)=a\,x e g(x)=b\,x estão em S, então (f+g)(x)=(a\,x)+(b\,x)=(a+b)\,x,e como a+b\in\mathbb{R}, temos f+g\in S.
  3. Se f(x)=a\,x está em S e \lambda\in\mathbb{R}, então (\lambda f)(x)=\lambda\,(a\,x)=(\lambda a)\,x,com \lambda a\in\mathbb{R}, logo \lambda f\in S.
    Portanto, S é de fato um subespaço de F.

Passo 3

Para dar um vetor exemplar em S, basta escolher um valor de a. Por exemplo, tomando a=2, definimos
v:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad v(x)=2\,x.
Como v(x) se escreve na forma a\,x com a=2, temos v\in S.

Resposta

O subespaço escolhido foi
S = \bigl\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(x)=a\,x,\;a\in\mathbb{R}\bigr\},
e um vetor desse espaço é
v(x)=2\,x.

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