Dê exemplos de:
Um subespaço vetorial do {matrizes diagonais n \times n } e de um vetor desse espaço.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dê um exemplo de um subespaço vetorial do espaço de todas as matrizes diagonais n\times n (vamos chamar esse espaço de D_n) e também apresente um vetor pertencente a esse subespaço. O conteúdo aqui é justificar que um certo subconjunto de D_n é fechado sob soma e multiplicação escalar, e então escolher um elemento não trivial desse subconjunto.

Passo 2

Definimos
W = \{\lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{R}\},
onde I_n é a matriz identidade n\times n. Vamos verificar que W é subespaço de D_n:
  1. O vetor zero de D_n é 0\cdot I_n, que está em W.
  2. Se \lambda I_n e \mu I_n estão em W, então
\lambda I_n + \mu I_n = (\lambda + \mu) I_n \in W.
  1. Se \alpha\in\mathbb{R} e \lambda I_n\in W, então
\alpha\,(\lambda I_n) = (\alpha\lambda)\,I_n \in W.
Portanto W é fechado sob adição e multiplicação escalar, logo é um subespaço vetorial de D_n.

Passo 3

Um vetor (matriz) não trivial de W é justamente a própria identidade:
I_n \;=\; 1\cdot I_n,
que satisfaz I_n\in W.

Resposta

O subespaço vetorial escolhido é
W = \{\lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{R}\},
e um exemplo de vetor desse espaço é
I_n.

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